1. Um eixo em rotação foi projetado com diâmetro de 26 mm e fabricado em aço SAE 4340. A tensão de flexão varia de 0 a 50 MPa e a tensão torcional flutua entre 15 e 45 MPa . Estes carregamentos estão em fase. Determine o fator de segurança do eixo em fadiga de vida infinita, e diga se ele está adequado e por quê. ( \sigma_{u t}=890 \mathrm{MPa}, estirado a frio, confiabilidade de 99,9 \% ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o fator de segurança em fadiga para vida infinita e dizer se o eixo está adequado. Dados fornecidos (todos os números e símbolos estão em TeX):
\text{diâmetro } d = 26\\ \mathrm{mm},â
\sigma_{ut} = 890\\ \mathrm{MPa}\quad(\text{aço SAE 4340, estirado a frio}),ç
as tensões variam assim:
\text{flexão: } \sigma_{min}=0\\ \mathrm{MPa},\\ \sigma_{max}=50\\ \mathrm{MPa},ã
\text{torção: } \tau_{min}=15\\ \mathrm{MPa},\\ \tau_{max}=45\\ \mathrm{MPa},çã
essas cargas estão em fase, e a confiabilidade exigida é 99{,}9\%. A tarefa é calcular o fator de segurança em fadiga para vida infinita e concluir se o eixo está adequado (dar o porquê).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática): vou usar a abordagem padrão de projeto para fadiga de eixos:
  1. reduzir o carregamento variável a componentes média e alternada (essa é a forma que se usa em prova: amplitude e média),
  2. combinar esforços de flexão e torção por uma tensão equivalente usando a teoria do estado plano (critérios de energia de distorção / von Mises), porque o aço é dúctil e queremos considerar o efeito combinado de tensão normal e cisalhante,
  3. usar o critério de falha de Modified Goodman para fadiga (muito usado em provas e prático para aços ducteis; é conservador em relação a Gerber e simples de aplicar).
    Vou explicar cada fórmula quando for usá-la.

Passo 3

Calcular componentes alternada e média das tensões (fórmulas e raciocínio):
  • Para qualquer grandeza que varia entre X_{\min} e X_{\max}, a componente alternada (amplitude) é
X_a=\frac{X_{\max}-X_{\min}}{2},
e a componente média é
X_m=\frac{X_{\max}+X_{\min}}{2}.
Aplicando aos dados:
\text{flexão: }\sigma_a=\frac{50-0}{2}=25\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_m=\frac{50+0}{2}=25\\ \mathrm{MPa},ã
\text{torção: }\tau_a=\frac{45-15}{2}=15\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_m=\frac{45+15}{2}=30\\ \mathrm{MPa}.çã
Comentário amigável: pense em X_a como “o quanto oscila” e X_m como “o deslocamento médio” da oscilação.

Passo 4

Combinar flexão e torção em tensões equivalentes usando a forma para amplitudes e médias (critérios de von Mises para componentes alternada e média, porque a falha por fadiga é controlada pela energia de distorção):
A tensão equivalente alternada usa
\sigma_{a,eq}=\sqrt{\sigma_a^{2}+3\,\tau_a^{2}},
e a tensão equivalente média usa
\sigma_{m,eq}=\sqrt{\sigma_m^{2}+3\,\tau_m^{2}}.
Substituindo os valores calculados:
\sigma_{a,eq}=\sqrt{25^{2}+3\cdot 15^{2}}=\sqrt{625+675}=\sqrt{1300}=36{,}0555\\ \mathrm{MPa}\approx 36{,}06\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{m,eq}=\sqrt{25^{2}+3\cdot 30^{2}}=\sqrt{625+2700}=\sqrt{3325}=57{,}66\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: \sigma_{a,eq} é a “amplitude efetiva” que causa dano por fadiga; \sigma_{m,eq} é a componente média que reduz a capacidade de resistência à fadiga.

Passo 5

Determinar o limite de resistência à fadiga básico S_e' para aço (regra prática usada em provas e em Shigley): para aços temperados/esticados com \sigma_{ut} abaixo de cerca de 1400\\ \mathrm{MPa},
S_e' = 0{,}5\,\sigma_{ut}.
Aplicando:
S_e' = 0{,}5\cdot 890 = 445\\ \mathrm{MPa}.
Explicação: S_e' é o limite de fadiga ideal para uma peça “polida, pequena e com 50% de confiabilidade”. Precisamos aplicar fatores de modificação para obter S_e apropriado às condições reais.

Passo 6

Aplicar fatores de modificação para obter o limite de fadiga real S_e. Fórmula geral:
S_e = S_e'\cdot k_a\cdot k_b\cdot k_c\cdot k_d\cdot k_e\cdot k_f,
onde cada k corrige superfície, tamanho, tipo de carga, temperatura, confiabilidade e concentração de tensão, respectivamente. Vou explicar e escolher valores padrão usados em provas (se houver características diferentes na peça, esses valores mudam; aqui assumimos eixo sem entalhes além do diâmetro informado).
  1. Fator de superfície k_a. Para superfícies “estirado a frio / usinadas” usa-se a fórmula empírica (Shigley):
k_a = a\,\sigma_{ut}^{\,b},
com a=4{,}51 e b=-0{,}265 para superfície usinada/cold-drawn (categoria usada em muitos exercícios). Então
k_a = 4{,}51\cdot 890^{-0{,}265}\approx 0{,}745.
Breve nota: números a,b vêm de tabelas empíricas; aqui usei a categoria correspondente a estirado a frio/usinado, comum em exercícios.
  1. Fator de tamanho k_b. Para eixos em flexão usa-se a expressão empírica (Shigley):
k_b = 1{,}24\,d^{-0{,}107}\quad(\text{com }d\text{ em mm, para }8\le d\le 250\\ \mathrm{mm}).
Substituindo d=26\\ \mathrm{mm}:
k_b = 1{,}24\cdot 26^{-0{,}107}\approx 0{,}874.
  1. Fator de carga k_c: para flexão rotativa normalmente k_c=1.
  2. Fator de temperatura k_d: temperatura ambiente \Rightarrow k_d=1.
  3. Fator de confiabilidade k_e: para confiabilidade 99{,}9\% a tabela padrão dá k_e\approx 0{,}753. (valores típicos: 50\%\Rightarrow1{,}00,\\\ 90\%\Rightarrow0{,}897,\\\ 95\%\Rightarrow0{,}868,\\\ 99\%\Rightarrow0{,}814,\\\ 99{,}9\%\Rightarrow0{,}753.)
  4. Fator de concentração de tensão k_f: assumimos eixo sem entalhes nem chavetas críticos; então k_f=1. (Se existirem entalhes, k_f deve ser calculado com K_t e notch sensitivity.)
Agora calcular S_e:
S_e = 445\cdot 0{,}745\cdot 0{,}874\cdot 1\cdot 1\cdot 0{,}753\cdot 1.
Fazendo as contas:
S_e \approx 445\cdot 0{,}745\cdot 0{,}874\cdot 0{,}753 \approx 218{,}0\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: S_e é o limite de fadiga já corrigido para as condições reais (tamanho, superfície, confiabilidade etc.).

Passo 7

Aplicar o critério de Modified Goodman para obter o fator de segurança n. Fórmula do Modified Goodman (no formato usado em provas):
\frac{\sigma_{a,eq}}{S_e}+\frac{\sigma_{m,eq}}{\sigma_{ut}}=\frac{1}{n}.
Isolando n:
n=\frac{1}{\dfrac{\sigma_{a,eq}}{S_e}+\dfrac{\sigma_{m,eq}}{\sigma_{ut}}}.
Substituir os valores já calculados:
\sigma_{a,eq}\approx 36{,}06\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{m,eq}\approx 57{,}66\\ \mathrm{MPa},
S_e\approx 218{,}0\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{ut}=890\\ \mathrm{MPa}.
Calcule os termos:
\frac{\sigma_{a,eq}}{S_e}=\frac{36{,}06}{218{,}0}\approx 0{,}1654,
\frac{\sigma_{m,eq}}{\sigma_{ut}}=\frac{57{,}66}{890}\approx 0{,}0648,
\Rightarrow \frac{1}{n}=0{,}1654+0{,}0648=0{,}2302.
Portanto
n=\frac{1}{0{,}2302}\approx 4{,}35.

Passo 8

Interpretação do resultado e conclusão sobre adequação:
  • O fator de segurança em fadiga encontrado é n\approx 4{,}35.
  • Em projeto prático costuma-se exigir n\gtrsim 2 para condições usuais; como n\approx 4{,}35\gg 2, o eixo está adequado para vida infinita sob as hipóteses adotadas.
  • Observações importantes (cautela): se houver entalhes, chavetas, roscas, acabamento de superfície pior que o considerado, ou concentração de tensões locais, o fator k_f seria menor que 1 (ou K_t maior) e S_e real cairia, reduzindo n. Portanto, verifique presença de entalhes e acabamento real antes de aceitar o resultado sem mais análises.

Resposta

n \approx 4{,}35.\nSim — está adequado, pois n\approx 4{,}35 é muito maior que o valor de projeto típico ( n\gtrsim 2); atenção a entalhes/defeitos que podem reduzir esse valor.

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