Um eixo rotativo de massa m = 8 kg e rigidez k = 600 N/m é submetido a uma força F(t) 30 cos(5 t) N. Determine a resposta x(t) utilizando a Transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a resposta de um eixo rotativo que tem massa e rigidez , quando submetido a uma força . Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na resolução de equações diferenciais, especialmente em sistemas dinâmicos como esse.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o modelo físico. Temos um sistema massa-mola, onde a massa é e a rigidez da mola é . A força externa aplicada é uma função do tempo. A equação de movimento para esse sistema é dada pela segunda lei de Newton:

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na equação:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Assumindo que as condições iniciais são zero ( e ), a equação se transforma em:

Passo 5

Vamos simplificar a equação no domínio de Laplace:
Isolando :

Passo 6

Vamos simplificar ainda mais o denominador:
Então,

Passo 7

Para encontrar , precisamos fazer a decomposição em frações parciais. Vamos considerar:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e agrupando termos:
Comparando os coeficientes:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 9

Voltando à expressão de :

Passo 10

Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Aplicando isso:

Resposta

A resposta do sistema é:

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