Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se
denota a quantidade de substância no tanque no instanante
, então
é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de
. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com 3000 litros de água onde já tem 15 kg de sal dissolvidos. Água salgada entra nesse tanque a uma taxa de 18 litros por minuto, com concentração de 0,01 kg de sal por litro. Ao mesmo tempo, a mistura totalmente agitada sai do tanque na mesma taxa de 18 litros por minuto. A pergunta é: depois de 25 minutos, quanto sal ainda vai ter no tanque?
Vamos resolver isso usando cálculo diferencial, mais especificamente, equações diferenciais que lidam com taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo:
-
Taxa de entrada de sal: A água que entra tem 0,01 kg de sal por litro e a taxa de entrada é 18 L/min. Então, a taxa de entrada de sal é
kg/min. -
Taxa de saída de sal: A mistura sai na mesma taxa de 18 L/min, mas a concentração de sal na saída depende da quantidade de sal atual no tanque. Se
é a quantidade de sal no tanque no tempo , então a concentração é kg/L. Assim, a taxa de saída de sal é kg/min.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação diferencial que descreve a taxa de variação do sal no tanque:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjá-la da seguinte forma:
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Passo 8
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. No tempo
, temos 15 kg de sal:
Então, a solução da equação é:
Passo 9
Agora, queremos saber quanto sal resta no tanque após 25 minutos. Substituímos
na equação:
Calculando o expoente:
Então:
Usando uma calculadora para
:
Resposta
Após 25 minutos, permanecem aproximadamente 17,09 kg de sal no tanque.