Um eixo sólido de aço de
de comprimento deve transmitir 200 kW de potência a uma velocidade de 400 rpm . Sabendo que
:
a)
Determine a carga que esse eixo é submetido e o tipo de carga (tração, compressão, cisalhamento, torção, flexão, …).
b)
Para um diâmetro de 20 mm , determine a tensão de cisalhamento decorrente da torção no centro do eixo.
c)
Especifique o diâmetro do eixo de tal forma que a tensão máxima não exceda 50 MPa .
d)
Especifique o diâmetro do eixo de tal forma que a deformação angular não exceda metade da deformação angular do eixo especificado na letra c)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (valores extraídos do enunciado):
- Potência transmissível:
. - Rotação:
. - Comprimento do eixo:
. - Módulo de cisalhamento:
.
As perguntas:
(a) Determine a carga que o eixo está submetido e classifique o tipo de carga (tração, compressão, cisalhamento, torção, flexão, …).
(b) Para diâmetro, determine a tensão de cisalhamento resultante da torção no centro do eixo.
(c) Especifique o diâmetro do eixo tal que a tensão máxima não exceda.
(d) Especifique o diâmetro do eixo tal que a deformação angular seja, no máximo, metade da deformação angular do eixo determinado na letra (c).
Passo 2
Encontrar o torque transmitido (resposta da pergunta (a), parte numérica).
- Fórmula básica que relaciona potência, torque e velocidade angular:
onde
é potência (W),
é torque (N·m) e
é velocidade angular (rad/s).
- Converter rotação para velocidade angular:
Substituindo
:
- Isolando o torque:
Substituindo
e
:
- Tipo de carga: o eixo está submetido a um torque (torção), que gera tensões de cisalhamento (cortantes) na seção transversal. (Observação: não há informação no enunciado de forças de tração/compressão ou flexão, apenas torque.)
Passo 3
Explicar a fórmula da tensão de cisalhamento em torção e calcular para
(letra b).
- Para um eixo sólido circular de diâmetro
, o momento polar de inércia (segundo momento polar) é
- A tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio
) devido ao torque é dada por
Explicação didática:
mede a “resistência geométrica” do círculo à torção; quanto maior
, muito maior
(proporção a
), então a tensão de superfície cai rapidamente com
. A tensão máxima ocorre na superfície porque o raio
é máximo lá.
- Agora calcular para
e :
Fazendo as contas:
Interpretação:
, um valor extremamente alto para aço — mostra que um diâmetro de
é inadequado para essa potência/velocidade.
Passo 4
Determinar o diâmetro para que
(letra c).
- Partindo da fórmula
e impondo com , temos
- Substituindo
(ou o valor numérico) e :
Cálculo numérico:
- Conclusão prática: o diâmetro mínimo para que a tensão de cisalhamento não exceda
é aproximadamente (ou ). Em projeto real arredonda-se para um valor comercial superior (por exemplo ou ), mas o cálculo teórico dá .
Passo 5
Determinar o diâmetro para que a deformação angular (torção total) não exceda metade da deformação angular do eixo da letra (c) (letra d).
- Fórmula da deformação angular (torção) de um eixo circular homogêneo carregado por torque constante:
Substituindo
obtemos
- Observação importante (proporcionalidade): para mesmas
tem-se . Portanto, se quisermos que a nova torção seja no máximo metade de (o valor obtido com da letra c), devemos ter
Isto implica
- Calcular
:
- Usando
:
- Interpretação prática: para reduzir a torção à metade, o diâmetro precisa aumentar cerca de
em relação a . Em projeto normalmente escolhe-se um diâmetro comercial imediatamente superior (por ex. ou ).
Resposta
(a)
. Tipo de carga: torção (gera tensões de cisalhamento).
(b) (para
).
(c) (para
).
(d) (para
).
(b)
(c)
(d)