(5,0) Um eixo sólido de aço de 2,0 \mathrm{~m} de comprimento deve transmitir 200 kW de potência a uma velocidade de 400 rpm . Sabendo que \mathrm{G}=77,2 \mathrm{GPa} :
a) (0,5) Determine a carga que esse eixo é submetido e o tipo de carga (tração, compressão, cisalhamento, torção, flexão, …).
b) (0,5) Para um diâmetro de 20 mm , determine a tensão de cisalhamento decorrente da torção no centro do eixo.
c) (2,0) Especifique o diâmetro do eixo de tal forma que a tensão máxima não exceda 50 MPa .
d) (2,0) Especifique o diâmetro do eixo de tal forma que a deformação angular não exceda metade da deformação angular do eixo especificado na letra c)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (valores extraídos do enunciado):
  • Potência transmissível: \,P=200\\ \text{kW}=200\,000\\ \text{W}.
  • Rotação: \,n=400\\ \text{rpm}.
  • Comprimento do eixo: \,L=2{,}0\\ \text{m}.
  • Módulo de cisalhamento: \,G=77{,}2\\ \text{GPa}=77{,}2\times10^{9}\\ \text{Pa}.
    As perguntas:
    (a) Determine a carga que o eixo está submetido e classifique o tipo de carga (tração, compressão, cisalhamento, torção, flexão, …).
    (b) Para diâmetro \,d=20\\ \text{mm}, determine a tensão de cisalhamento resultante da torção no centro do eixo.
    (c) Especifique o diâmetro do eixo tal que a tensão máxima não exceda \,50\\ \text{MPa}.
    (d) Especifique o diâmetro do eixo tal que a deformação angular seja, no máximo, metade da deformação angular do eixo determinado na letra (c).

Passo 2

Encontrar o torque transmitido (resposta da pergunta (a), parte numérica).
  • Fórmula básica que relaciona potência, torque e velocidade angular:
P = T\,\omega,
onde \,P é potência (W), \,T é torque (N·m) e \,\omega é velocidade angular (rad/s).
  • Converter rotação para velocidade angular:
\omega = \frac{2\pi n}{60}.
Substituindo \,n=400\\ \text{rpm}:
\omega = \frac{2\pi\cdot400}{60}=\frac{800\pi}{60}=\frac{40\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx 41{,}8879\\ \text{rad/s}.
  • Isolando o torque:
T=\frac{P}{\omega}.
Substituindo \,P=200\,000\\ \text{W} e \,\omega=\dfrac{40\pi}{3}:
T=\frac{200\,000}{\tfrac{40\pi}{3}}=\frac{200\,000\cdot3}{40\pi}=\frac{15\,000}{\pi}\\ \text{N·m}\approx 4\,774{,}65\\ \text{N·m}.
  • Tipo de carga: o eixo está submetido a um torque (torção), que gera tensões de cisalhamento (cortantes) na seção transversal. (Observação: não há informação no enunciado de forças de tração/compressão ou flexão, apenas torque.)

Passo 3

Explicar a fórmula da tensão de cisalhamento em torção e calcular para d=20\\ \text{mm} (letra b).
  • Para um eixo sólido circular de diâmetro \,d, o momento polar de inércia (segundo momento polar) é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • A tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio c=d/2) devido ao torque T é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Explicação didática: J mede a “resistência geométrica” do círculo à torção; quanto maior d, muito maior J (proporção a d^4), então a tensão de superfície cai rapidamente com d. A tensão máxima ocorre na superfície porque o raio c é máximo lá.
  • Agora calcular para \,d=20\\ \text{mm}=0{,}020\\ \text{m} e T\approx 4\,774{,}65\\ \text{N·m}:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}=\frac{16\cdot 4\,774{,}65}{\pi\cdot (0{,}020)^{3}}\\ \text{Pa}.
Fazendo as contas:
(0{,}020)^{3}=8{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^{3}, \qquad \pi (0{,}020)^{3}=2{,}513274\times10^{-5}.
16T=16\cdot4\,774{,}65=76\,394{,}4\\ \text{N·m}.
\tau_{\max}=\frac{76\,394{,}4}{2{,}513274\times10^{-5}}\\ \text{Pa}\approx 3{,}040\times10^{9}\\ \text{Pa}=3\,040\\ \text{MPa}.
Interpretação: \tau_{\max}\approx 3{,}04\\ \text{GPa}, um valor extremamente alto para aço — mostra que um diâmetro de 20\\ \text{mm} é inadequado para essa potência/velocidade.

Passo 4

Determinar o diâmetro para que \tau_{\max}\le 50\\ \text{MPa} (letra c).
  • Partindo da fórmula \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}} e impondo \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}} com \tau_{\text{adm}}=50\\ \text{MPa}=50\times10^{6}\\ \text{Pa}, temos
\frac{16T}{\pi d^{3}}\le \tau_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad d^{3}\ge \frac{16T}{\pi\tau_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad d\ge\left(\frac{16T}{\pi\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
  • Substituindo T=\dfrac{15\,000}{\pi}\\ \text{N·m} (ou o valor numérico) e \tau_{\text{adm}}=50\times10^{6}\\ \text{Pa}:
d\ge\left(\frac{16\cdot 4\,774{,}65}{\pi\cdot 50\times10^{6}}\right)^{1/3}.
Cálculo numérico:
\frac{16T}{\pi\tau_{\text{adm}}}=\frac{76\,394{,}4}{157\,079\,632{,}7}\approx 4{,}8655\times10^{-4},
d\ge (4{,}8655\times10^{-4})^{1/3}\approx 0{,}07867\\ \text{m}=78{,}67\\ \text{mm}.
  • Conclusão prática: o diâmetro mínimo para que a tensão de cisalhamento não exceda 50\\ \text{MPa} é aproximadamente \,0{,}0787\\ \text{m} (ou \,78{,}7\\ \text{mm}). Em projeto real arredonda-se para um valor comercial superior (por exemplo 80\\ \text{mm} ou 85\\ \text{mm}), mas o cálculo teórico dá \approx78{,}7\\ \text{mm}.

Passo 5

Determinar o diâmetro para que a deformação angular (torção total) não exceda metade da deformação angular do eixo da letra (c) (letra d).
  • Fórmula da deformação angular (torção) de um eixo circular homogêneo carregado por torque constante:
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.
Substituindo J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} obtemos
\theta=\frac{32\,T\,L}{\pi\,G\,d^{4}}.
  • Observação importante (proporcionalidade): para mesmas T,L,G tem-se \theta\propto \dfrac{1}{d^{4}}. Portanto, se quisermos que a nova torção \theta_{\text{novo}} seja no máximo metade de \theta_{\mathrm{c}} (o valor obtido com d_{\mathrm{c}} da letra c), devemos ter
\frac{\theta_{\text{novo}}}{\theta_{\mathrm{c}}}=\left(\frac{d_{\mathrm{c}}}{d_{\text{novo}}}\right)^{4}\le\frac{1}{2}.
Isto implica
d_{\text{novo}}\ge d_{\mathrm{c}}\cdot 2^{1/4}.
  • Calcular 2^{1/4}:
2^{1/4}\approx 1{,}189207.
  • Usando d_{\mathrm{c}}\approx 0{,}07867\\ \text{m}:
d_{\text{novo}}\ge 0{,}07867\cdot 1{,}189207\approx 0{,}0936\\ \text{m}=93{,}6\\ \text{mm}.
  • Interpretação prática: para reduzir a torção à metade, o diâmetro precisa aumentar cerca de 19{,}\,\% em relação a d_{\mathrm{c}}. Em projeto normalmente escolhe-se um diâmetro comercial imediatamente superior (por ex. 94\\ \text{mm} ou 95\\ \text{mm}).

Resposta

(a) T=\dfrac{15\,000}{\pi}\\ \text{N·m}\approx 4\,774{,}65\\ \text{N·m}. Tipo de carga: torção (gera tensões de cisalhamento).
(b) \tau_{\max}\approx 3{,}040\times10^{3}\\ \text{MPa}=3{,}040\\ \text{MPa} (para d=20\\ \text{mm}).
(c) d\ge 0{,}07867\\ \text{m}\approx 78{,}7\\ \text{mm} (para \tau_{\max}\le 50\\ \text{MPa}).
(d) d\ge 0{,}0936\\ \text{m}\approx 93{,}6\\ \text{mm} (para \theta_{\text{novo}}\le \tfrac{1}{2}\theta_{\mathrm{c}}).

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