Questão 4.8 Para um sistema com coordenadas generalizadas q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4} e uma Hamiltoniana:
H_{1} \quad\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\right)=\sum^{4} \frac{p_{i}^{2}}{2 m_{i=1}}+V\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}\right)
onde m é a massa e V\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}\right) é o potencial, encontre as equações de Hamilton.

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas generalizadas \,q_{1},q_{2},q_{3},q_{4}\, e os momentos conjugados \,p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\, e dá a Hamiltoniana do sistema. A Hamiltoniana, interpretando a notação ambígua do enunciado de forma natural, é
H\big(q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\big) =\sum_{i=1}^{4}\frac{p_{i}^{2}}{2\,m_{i}}+V\big(q_{1},q_{2},q_{3},q_{4}\big),
onde cada \,m_{i}\, é a massa associada à coordenada \,q_{i}\, (assume-se constantes) e \,V é o potencial que depende apenas das coordenadas. O que o enunciado pede: encontrar as equações de Hamilton, ou seja, as equações do movimento que dão \dot q_{i}(t) e \dot p_{i}(t) para i=1,2,3,4.

Passo 2

Apresentando a fórmula geral de Hamilton (a ferramenta que vamos usar): para um sistema com Hamiltoniana \,H(q,p)\, as equações canônicas de Hamilton são, para cada índice i,
\dot q_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \qquad \dot p_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}.
Explicação das notações:
  • \dot q_{i} significa derivada temporal de \,q_{i}, isto é \dfrac{dq_{i}}{dt}.
  • \dot p_{i} significa derivada temporal de \,p_{i}, isto é \dfrac{dp_{i}}{dt}.
  • \dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} e \dfrac{\partial H}{\partial q_{i}} são derivadas parciais de \,H\, mantendo as demais variáveis fixas. Derivada parcial significa: varrer apenas a variável indicada e ver como a função muda.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial H}{\partial p_{i}}. Como a Hamiltoniana é
H=\sum_{j=1}^{4}\frac{p_{j}^{2}}{2m_{j}}+V(q_{1},\dots,q_{4}),
o único termo que depende de \,p_{i}\, é \dfrac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}. A derivada parcial de \dfrac{p_{i}^{2}}{2m_{i}} em relação a \,p_{i}\, é feita lembrando a regra de derivação da potência: \dfrac{d}{dp}(p^{2})=2p. Assim,
\frac{\partial}{\partial p_{i}}\!\left(\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}\right) =\frac{2p_{i}}{2m_{i}}=\frac{p_{i}}{m_{i}}.
Os termos com p_{j} para j\neq i e o potencial V não contribuem. Portanto, usando a fórmula canônica,
\dot q_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{p_{i}}{m_{i}}\qquad\text{para }i=1,2,3,4.
Breve interpretação: isso mostra que, neste caso, a velocidade generalizada \dot q_{i} é o momento dividido pela massa associada, como na mecânica clássica usual.

Passo 4

Agora calculamos -\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}}. Observe que a parte cinética \sum_{j}p_{j}^{2}/(2m_{j}) não depende das coordenadas \,q_{i}\, (pois \,m_{j}\, são constantes), então a única contribuição vem do potencial V(q_{1},\dots,q_{4}). Assim,
\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}},
e pela equação canônica para \dot p_{i},
\dot p_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\qquad\text{para }i=1,2,3,4.
Interpretação física: -\dfrac{\partial V}{\partial q_{i}} é a força generalizada conjugada à coordenada \,q_{i}\, (ou seja, o gradiente negativo do potencial).

Passo 5

Relacionando com a formulação lagrangiana (para fixar intuição): se o Lagrangiano fosse
L=\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{2}m_{i}\dot q_{i}^{2}-V(q_{1},\dots,q_{4}),
o momento conjugado definido por \,p_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}\,
p_{i}=m_{i}\dot q_{i}.
Isolando \dot q_{i} obtemos \dot q_{i}=p_{i}/m_{i}, exatamente a mesma relação encontrada pelas equações de Hamilton. Isso mostra a consistência entre as duas formulações (Lagrange e Hamilton).

Passo 6

Resumo final: para cada coordenada \,q_{i}\, com momento conjugado \,p_{i}\, e massa \,m_{i}\,, as equações de Hamilton são
\dot q_{i}=\frac{p_{i}}{m_{i}}, \qquad \dot p_{i}=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}, \qquad i=1,2,3,4.

Resposta

\dot q_{i}=\dfrac{p_{i}}{m_{i}}\n \dot p_{i}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_{i}}, para i=1,2,3,4

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