Questão 4.8 Para um sistema com coordenadas generalizadas
e uma Hamiltoniana:
onde
é a massa e
é o potencial, encontre as equações de Hamilton.
Passo 1
O enunciado fornece as coordenadas generalizadas
e os momentos conjugados
e dá a Hamiltoniana do sistema. A Hamiltoniana, interpretando a notação ambígua do enunciado de forma natural, é
onde cada
é a massa associada à coordenada
(assume-se constantes) e
é o potencial que depende apenas das coordenadas. O que o enunciado pede: encontrar as equações de Hamilton, ou seja, as equações do movimento que dão
e
para
.
Passo 2
Apresentando a fórmula geral de Hamilton (a ferramenta que vamos usar): para um sistema com Hamiltoniana
as equações canônicas de Hamilton são, para cada índice
,
Explicação das notações:
-
significa derivada temporal de , isto é . -
significa derivada temporal de , isto é . -
e são derivadas parciais de mantendo as demais variáveis fixas. Derivada parcial significa: varrer apenas a variável indicada e ver como a função muda.
Passo 3
Vamos calcular
. Como a Hamiltoniana é
o único termo que depende de
é
. A derivada parcial de
em relação a
é feita lembrando a regra de derivação da potência:
. Assim,
Os termos com
para
e o potencial
não contribuem. Portanto, usando a fórmula canônica,
Breve interpretação: isso mostra que, neste caso, a velocidade generalizada
é o momento dividido pela massa associada, como na mecânica clássica usual.
Passo 4
Agora calculamos
. Observe que a parte cinética
não depende das coordenadas
(pois
são constantes), então a única contribuição vem do potencial
. Assim,
e pela equação canônica para
,
Interpretação física:
é a força generalizada conjugada à coordenada
(ou seja, o gradiente negativo do potencial).
Passo 5
Relacionando com a formulação lagrangiana (para fixar intuição): se o Lagrangiano fosse
o momento conjugado definido por
dá
Isolando
obtemos
, exatamente a mesma relação encontrada pelas equações de Hamilton. Isso mostra a consistência entre as duas formulações (Lagrange e Hamilton).
Passo 6
Resumo final: para cada coordenada
com momento conjugado
e massa
, as equações de Hamilton são