Questão 4.9 Considere uma partícula de massa m movendo-se em um potencial unidimensional V(x)=\frac{1}{2} k x^{2}. Utilize o formalismo hamiltoniano para determinar as equações de movimento da partícula.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m sujeita a um potencial unidimensional
V(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2},
e pede para determinar as equações de movimento usando o formalismo hamiltoniano. As informações relevantes são:
  • massa da partícula: m;
  • potencial: V(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2};
  • coordenada generalizada (única): x;
  • objetivo: obter as equações de Hamilton (as equações diferenciais de primeira ordem para x e seu momento conjugado p), e, se desejar, a forma em segunda ordem equivalente e sua solução geral.

Passo 2

Primeiro construímos a lagrangiana L. A lagrangiana é definida por L=T-V, onde T é a energia cinética e V o potencial. Para uma partícula unidimensional:
T=\tfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}.
Portanto
L=\tfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Agora definimos o momento conjugado p associado à coordenada x. Por definição:
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}.
Calculando:
p=\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\!\left(\tfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\tfrac{1}{2}k x^{2}\right)=m\dot{x}.
Explicação rápida e prática: p é a quantidade que corresponde à “impulso” ligado a x; aqui coincide com o impulso mecânico usual m\dot{x}.

Passo 3

Construímos o hamiltoniano H por transformada de Legendre:
H(p,x)=p\dot{x}-L,
onde \dot{x} deve ser escrito em função de p usando p=m\dot{x}. Então \dot{x}=p/m. Substituindo:
H(p,x)=p\frac{p}{m}-\left(\tfrac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}k x^{2}\right).
Simplificando os termos:
H(p,x)=\frac{p^{2}}{m}-\left(\tfrac{1}{2}\frac{p^{2}}{m}-\tfrac{1}{2}k x^{2}\right)=\tfrac{1}{2}\frac{p^{2}}{m}+\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Interpretando: o hamiltoniano é a energia total (cinética mais potencial) expressa em x e p.

Passo 4

As equações de Hamilton são, em notação para uma variável:
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}.
Calculamos as derivadas parciais explicitamente:
\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}\!\left(\tfrac{1}{2}\frac{p^{2}}{m}+\tfrac{1}{2}k x^{2}\right)=\frac{p}{m},
\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2}\frac{p^{2}}{m}+\tfrac{1}{2}k x^{2}\right)=k x.
Portanto as equações canônicas ficam
\dot{x}=\frac{p}{m},\qquad \dot{p}=-k x.
Comentário intuitivo: a primeira diz que a velocidade é p/m; a segunda é a lei da força (negativa do gradiente do potencial), aqui \dot p = F = -k x.

Passo 5

Podemos combinar o sistema em uma única equação de segunda ordem para x. Diferenciando \dot{x}=\dfrac{p}{m} em relação ao tempo:
\ddot{x}=\frac{\dot{p}}{m}=\frac{-k x}{m}.
Assim obtemos a equação diferencial clássica do oscilador harmônico:
\ddot{x}+\frac{k}{m}\,x=0.
Resolvem-se essas equações por procura de soluções harmônicas; definir \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. A equação fica \ddot{x}+\omega^{2}x=0 cuja solução geral é
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes fixadas pelas condições iniciais. O momento conjugado correspondente é
p(t)=m\dot{x}(t)=-m\omega A\sin(\omega t)+m\omega B\cos(\omega t).
Força um último empurrão: essas expressões são exatamente o que se espera fisicamente — movimento periódico com frequência angular \omega=\sqrt{k/m}.

Resposta

\dot{x}=\dfrac{p}{m},\quad \dot{p}=-k x
\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x=0
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),\quad p(t)=m\dot{x}(t)=-m\omega A\sin(\omega t)+m\omega B\cos(\omega t),\\ \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

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