Questão 4.9 Considere uma partícula de massa
movendo-se em um potencial unidimensional
. Utilize o formalismo hamiltoniano para determinar as equações de movimento da partícula.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
sujeita a um potencial unidimensional
e pede para determinar as equações de movimento usando o formalismo hamiltoniano. As informações relevantes são:
- massa da partícula:
; - potencial:
; - coordenada generalizada (única):
; - objetivo: obter as equações de Hamilton (as equações diferenciais de primeira ordem para
e seu momento conjugado ), e, se desejar, a forma em segunda ordem equivalente e sua solução geral.
Passo 2
Primeiro construímos a lagrangiana
. A lagrangiana é definida por
, onde
é a energia cinética e
o potencial. Para uma partícula unidimensional:
Portanto
Agora definimos o momento conjugado
associado à coordenada
. Por definição:
Calculando:
Explicação rápida e prática:
é a quantidade que corresponde à “impulso” ligado a
; aqui coincide com o impulso mecânico usual
.
Passo 3
Construímos o hamiltoniano
por transformada de Legendre:
onde
deve ser escrito em função de
usando
. Então
. Substituindo:
Simplificando os termos:
Interpretando: o hamiltoniano é a energia total (cinética mais potencial) expressa em
e
.
Passo 4
As equações de Hamilton são, em notação para uma variável:
Calculamos as derivadas parciais explicitamente:
Portanto as equações canônicas ficam
Comentário intuitivo: a primeira diz que a velocidade é
; a segunda é a lei da força (negativa do gradiente do potencial), aqui
.
Passo 5
Podemos combinar o sistema em uma única equação de segunda ordem para
. Diferenciando
em relação ao tempo:
Assim obtemos a equação diferencial clássica do oscilador harmônico:
Resolvem-se essas equações por procura de soluções harmônicas; definir
. A equação fica
cuja solução geral é
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais. O momento conjugado correspondente é
Força um último empurrão: essas expressões são exatamente o que se espera fisicamente — movimento periódico com frequência angular
.