1 Um sistema massa-mola com:
é excitado pela força harmônica:
Calcule:
a. A frequência natural
.
b. A amplitude da resposta
.
c. O deslocamento em regime permanente
.
a. A frequência natural
b. A amplitude da resposta
c. O deslocamento em regime permanente
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
Dados:
-
. -
. - Força harmônica
. Ou seja, (N) e a frequência de excitação .
Perguntas:
a. Calcular a frequência natural .
b. Calcular a amplitude da resposta em regime permanente .
c. Escrever o deslocamento em regime permanente .
a. Calcular a frequência natural
b. Calcular a amplitude da resposta em regime permanente
c. Escrever o deslocamento em regime permanente
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento (sistema sem amortecimento):
Aqui
é a segunda derivada de
em relação ao tempo (aceleração),
é a amplitude da força aplicada e
é a frequência da excitação. A frequência natural do sistema (frequência não-forçada) chama-se
e é dada por:
Agora substituímos os valores numéricos:
Passo 3
Para encontrar a resposta em regime permanente (solução particular) usamos um método padrão: como a excitação é harmônica
, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Esse ansatz funciona porque as derivadas de cosseno e seno geram novamente seno/cosseno com o mesmo
, permitindo igualar os coeficientes.
Passo 4
Calculemos
e substituímos na equação de movimento.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
:
Agrupando termos em
e
:
Como a igualdade deve valer para todo
, igualamos coeficientes:
Passo 5
Da segunda equação vem
. Da primeira:
Observação: equivalente escrever a amplitude usando
como
mas o resultado numérico é o mesmo. Vamos calcular numericamente:
Portanto
Passo 6
A amplitude da resposta em regime permanente é o valor absoluto de
, como não há fase adicional (vimos
e denominador positivo), a fase é zero. Logo:
E o deslocamento em regime permanente fica simplesmente
Resposta
a.
b.
c.