1 Um sistema massa-mola com:

m=5 \mathrm{~kg}, \quad k=800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
é excitado pela força harmônica:
F(t)=20 \cos (10 t)
Calcule:
a. A frequência natural \omega_{n}.
b. A amplitude da resposta X.
c. O deslocamento em regime permanente x_{p}(t).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
Dados:
  • m=5\\ \mathrm{kg}.
  • k=800\\ \mathrm{N/m}.
  • Força harmônica F(t)=20\cos(10t). Ou seja, F_0=20 (N) e a frequência de excitação \omega=10\\ \mathrm{rad/s}.
Perguntas:
a. Calcular a frequência natural \omega_n.
b. Calcular a amplitude da resposta em regime permanente X.
c. Escrever o deslocamento em regime permanente x_p(t).

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento (sistema sem amortecimento):
m\ddot{x}+k x = F_0\cos(\omega t).
Aqui \ddot{x} é a segunda derivada de x em relação ao tempo (aceleração), F_0 é a amplitude da força aplicada e \omega é a frequência da excitação. A frequência natural do sistema (frequência não-forçada) chama-se \omega_n e é dada por:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Agora substituímos os valores numéricos:
\omega_n=\sqrt{\frac{800}{5}}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\approx12{,}649\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Para encontrar a resposta em regime permanente (solução particular) usamos um método padrão: como a excitação é harmônica \cos(\omega t), tentamos uma solução particular da forma
x_p(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes a determinar. Esse ansatz funciona porque as derivadas de cosseno e seno geram novamente seno/cosseno com o mesmo \omega, permitindo igualar os coeficientes.

Passo 4

Calculemos \ddot{x}_p e substituímos na equação de movimento.
Derivadas:
\ddot{x}_p(t)=-\omega^2 A\cos(\omega t)-\omega^2 B\sin(\omega t).
Substituindo em m\ddot{x}+k x = F_0\cos(\omega t):
m\big(-\omega^2 A\cos(\omega t)-\omega^2 B\sin(\omega t)\big)+k\big(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\big)=F_0\cos(\omega t).
Agrupando termos em \cos(\omega t) e \sin(\omega t):
\big(k-m\omega^2\big)A\cos(\omega t)+\big(k-m\omega^2\big)B\sin(\omega t)=F_0\cos(\omega t).
Como a igualdade deve valer para todo t, igualamos coeficientes:
\begin{cases} \big(k-m\omega^2\big)A=F_0,\\[4pt] \big(k-m\omega^2\big)B=0. \end{cases}]

Passo 5

Da segunda equação vem B=0. Da primeira:
A=\frac{F_0}{k-m\omega^2}.
Observação: equivalente escrever a amplitude usando \omega_n^2=\dfrac{k}{m} como
A=\frac{F_0}{m(\omega_n^2-\omega^2)},
mas o resultado numérico é o mesmo. Vamos calcular numericamente:
k-m\omega^2=800-5\cdot(10)^2=800-5\cdot100=800-500=300.
Portanto
A=\frac{20}{300}=\frac{1}{15}\\ \mathrm{m}\approx0{,}066\overline{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

A amplitude da resposta em regime permanente é o valor absoluto de A, como não há fase adicional (vimos B=0 e denominador positivo), a fase é zero. Logo:
X=\left|A\right|=\frac{1}{15}\\ \mathrm{m}.
E o deslocamento em regime permanente fica simplesmente
x_p(t)=A\cos(\omega t)=\frac{1}{15}\cos(10t)\\ \mathrm{m}.

Resposta

a. \omega_n=4\sqrt{10}\approx12{,}649\\ \mathrm{rad/s}
b. X=\dfrac{1}{15}\\ \mathrm{m}\approx0{,}066\overline{6}\\ \mathrm{m}
c. x_p(t)=\dfrac{1}{15}\cos(10t)\\ \mathrm{m}

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