1. (2,0) No eixo x, uma fonte F1 está na origem x=0, e outra fonte F2 está no ponto x=lambda / 3. As fontes emitem ondas progressivas unidimensionais de mesma frequência f, amplitude ym, no sentido positivo do eixo x. Obtenha a expressão para a função de onda resultante para x=lambda / 3 sabendo que as ondas estão em fase nas suas respectivas origens.

Passo 1

O enunciado fala de duas fontes em um mesmo eixo x: F1 em x=0 e F2 em x=lambda/3. Cada fonte emite uma onda progressiva unidimensional de mesma frequência f e amplitude ym, todas deslocando-se no sentido positivo de x. As emissões são “em fase” nas origens de cada fonte. Queremos a soma (superposição) das duas ondas no ponto x=lambda/3.

Passo 2

Para escrever cada onda usamos os parâmetros
k=2pilambda, omega=2pi f
Então a onda de F1 é
y1(x,t)=ymcosl(omega t - kxr)
e a onda de F2, como está “em fase” na sua origem x=lambda/3, fica
y2(x,t)=ymcos!l(omega t - k,(x-tfraclambda3)r)

Passo 3

Agora avaliamos cada uma em x=lambda/3:
y1l(tfraclambda3,tr) = ymcos!l(omega t - ktfraclambda3r) = ymcos!l(omega t - tfrac2pi3r),
y2l(tfraclambda3,tr) = ymcos!l(omega t - k,( tfraclambda3-tfraclambda3)r) = ymcos(omega t)

Passo 4

Pelo princípio da superposição, a onda resultante em x=lambda/3 é
yl(tfraclambda3,tr) = y1l(tfraclambda3,tr) + y2l(tfraclambda3,tr) = yml[cos(omega t) + cos!l(omega t - tfrac2pi3r)r]

Passo 5

Usamos a identidade de soma de cossenos
cos A + cos B = 2cos!l(A+B2r)cos!l(A-B2r)
Aqui A=omega t e B=omega t - tfrac2pi3. Logo
yl(tfraclambda3,tr) = ym,2cos!l(2omega t - tfrac2pi32r) cos!l(tfrac2pi32r) = ym,2cos!l(omega t - tfracpi3r)cos!l(tfracpi3r) = ymcos!l(omega t - tfracpi3r)

Resposta

yl(tfraclambda3,tr) = ymcos!l(2pi f,t ;-;tfracpi3r)

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