1. (1.5) A equação da onda em uma dimensão é dada por
partial^2 upartial x^2-k partial^2 upartial t^2=0
Em relação à equação acima são feitas três afirmações. Determine se cada uma delas é verdadeira ou falsa, não há necessidade de justificativa.
a) A solução geral é dada por u=f(x+v t)+g(x-v t), sendo que f e g são funções periódicas.
b) A velocidade da onda é obtida pela relação v=1 / k.
c) As soluções de onda progressiva sempre têm a forma u=f(x mp v t).

Passo 1

O enunciado fornece a equação da onda em uma dimensão
partial^2 upartial x^2 - k partial^2 upartial t^2 = 0
e pede para classificar como verdadeiras ou falsas três afirmações sobre a solução geral, a velocidade de propagação e a forma de ondas progressivas. Vamos usar o método de d’Alembert e a relação entre os coeficientes para responder.

Passo 2

Para a equação de onda no formato
partial^2 upartial x^2 - k partial^2 upartial t^2 = 0
reconhecemos que ela é equivalente a
partial^2 upartial x^2 - 1v^2 partial^2 upartial t^2 = 0
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k = 1v^2 Longrightarrow v = 1raizk
A solução geral (d’Alembert) é
u(x,t) = f(x - v t) + g(x + v t),
com f e g funções arbitrárias (não necessariamente periódicas).

Passo 3

Análise da afirmação (a): “A solução geral é dada por u=f(x+v t)+g(x-v t), sendo que f e g são funções periódicas.”
A forma u=f(xpm vt) está correta, mas f e g não são obrigatoriamente periódicas.
Portanto, (a) é FALSA.

Passo 4

Análise da afirmação (b): “A velocidade da onda é obtida pela relação v=1/k.”
Como vimos, a relação correta é
v = 1raizk,
e não v=1/k.
Portanto, (b) é FALSA.

Passo 5

Análise da afirmação (c): “As soluções de onda progressiva sempre têm a forma u=f(xmp v t).”
Por definição, ondas progressivas unidirecionais são exatamente da forma f(x - vt) ou f(x + vt).
Portanto, (c) é VERDADEIRA.

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira

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