Elabore uma abordagem explicando o contexto de Balanço de Energia, tipo uma dedução do que é e encontre um problema que exemplifique a aplicação a uma superfície de controle. O ideal é que todos os modos de transferência de calor possam ser contabilizados no seu exercício modelo.

Passo 1

Enunciado do problema que vou resolver (vou construir um exemplo didático que contempla todos os modos de transferência de calor numa superfície de controle).
Um painel plano, espessura L, área superficial A=1\\ \mathrm{m^2} (vamos trabalhar por unidade de área), separa um ar quente no interior de um espaço fechado de temperatura T_i do ar ambiente externo à temperatura T_\infty. O painel tem condutividade térmica k e emisso­vidade superficial \varepsilon. A convecção no lado interno é caracterizada por um coeficiente h_i e no lado externo por h_o. O ambiente externo também recebe radiação do painel externo, e a temperatura radiante do entorno é T_{\mathrm{sur}} (vamos assumir T_{\mathrm{sur}}=T_\infty neste exemplo). Não há geração volumétrica interna no painel. O problema pede:
  • Determinar o fluxo de calor por unidade de área (fluxo superficial) q'' em regime estacionário.
  • Determinar a temperatura da face interna do painel T_{s,i} e da face externa T_{s,o}.
Dados numéricos (pegos no enunciado do exercício modelo que criei):
  • L = 0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • k = 1{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
  • h_i = 10\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
  • h_o = 25\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
  • \varepsilon = 0{,}8.
  • T_i = 80{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • T_\infty = 20{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • T_{\mathrm{sur}} = 20{,}0\\ ^\circ\mathrm{C} (mesma do ambiente).
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}.
O que se pede: calcular q'', T_{s,i} e T_{s,o}. Vou trabalhar por unidade de área ( A=1\\ \mathrm{m^2}), o que simplifica as resistências térmicas.

Passo 2

Conceito de balanço de energia aplicado aqui — dedução e fórmulas principais.
  1. Primeira lei da termodinâmica para volume de controle (forma geral):
\frac{dE_{cv}}{dt} = \dot{Q}_{in} - \dot{W}_{out} + \sum \dot{m}_{in} e_{in} - \sum \dot{m}_{out} e_{out},
onde E_{cv} é a energia interna do volume de controle, \dot{Q} é a taxa de calor, \dot{W} trabalho, e os termos de massa aparecem se houver fluxo de massa.
  1. No nosso caso: regime estacionário ( dE_{cv}/dt=0), sem trabalho mecânico e sem fluxo de massa através do painel (sólido). Assim, soma algébrica das potências térmicas atravessando a superfície de controle é zero. Em termos práticos, a taxa de calor que entra por um lado deve sair pelo outro, e em regime estacionário o fluxo de calor unidimensional através do sólido é constante.
  2. Modos de transferência de calor que aparecem e suas leis:
  • Condução (no sólido, 1D): Lei de Fourier:
\dot{q}''_{\text{cond}} = -k\frac{dT}{dx}.
Para regime estacionário de uma placa plana sem geração volumétrica, o fluxo por unidade de área é constante e a queda térmica linear dá
\Delta T_{\text{cond}} = \dot{q}'' \frac{L}{k}.
Aqui \dot{q}'' é o fluxo de calor por unidade de área, L a espessura, k condutividade.
  • Convecção (fluido ↔ superfície): Lei de Newton do resfriamento:
\dot{q}''_{\text{conv}} = h\,(T_s - T_\infty),
onde h é o coeficiente convectivo, T_s temperatura da superfície, T_\infty temperatura do fluido distante.
  • Radiação (superfície ↔ entorno): Lei de Stefan–Boltzmann (fluxo por unidade de área, para superfície cinza):
\dot{q}''_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_{\mathrm{sur}}^4),
onde as temperaturas devem estar em kelvin.
  1. Como tratar convecção + radiação no mesmo lado externo? Ambos geram fluxos que dependem de T_{s,o}. Pode-se combinar efeitos escrevendo
\dot{q}'' = h_o\,(T_{s,o}-T_\infty) + \varepsilon\sigma\,(T_{s,o}^4-T_{\mathrm{sur}}^4).
Uma alternativa prática é linearizar a radiação em torno de uma temperatura média e definir um coeficiente radiativo equivalente h_r tal que
\varepsilon\sigma\,(T_{s,o}^4-T_{\mathrm{sur}}^4) \approx h_r\,(T_{s,o}-T_{\mathrm{sur}}),
com
h_r = \varepsilon\,\sigma\,(T_{s,o}^3 + T_{s,o}^2 T_{\mathrm{sur}} + T_{s,o} T_{\mathrm{sur}}^2 + T_{\mathrm{sur}}^3) = \varepsilon\,\sigma\,\bigl(T_{s,o}^2+T_{\mathrm{sur}}^2\bigr)\bigl(T_{s,o}+T_{\mathrm{sur}}\bigr).
Esta expressão vem de fatorar T_{s,o}^4-T_{\mathrm{sur}}^4=(T_{s,o}-T_{\mathrm{sur}})(T_{s,o}^3+\cdots+T_{\mathrm{sur}}^3). Como h_r depende de T_{s,o}, normalmente resolve-se por iteração: adota-se um palpite inicial para T_{s,o}, calcula-se h_r, resolve-se para q'' e atualiza-se T_{s,o} até convergência.
  1. Resistência térmica em série (modelo de rede térmica para transferência unidimensional por área A):
R_{\text{conv,i}}=\frac{1}{h_iA},\qquad R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA},\qquad R_{\text{conv+rad,o}}=\frac{1}{(h_o+h_r)A}.
Fluxo por unidade de área numa rede em série:
\dot{q}'' = \frac{T_i - T_\infty}{R_{\text{conv,i}}+R_{\text{cond}}+R_{\text{conv+rad,o}}}.
Depois de obter \dot{q}'' obtém-se as temperaturas das superfícies por quedas nas resistências:
T_{s,i} = T_i - \dot{q}''\frac{1}{h_i},\qquad T_{s,o} = T_\infty + \dot{q}''\frac{1}{h_o+h_r}.

Passo 3

Aplicação concreta do modelo ao exemplo numérico e plano de solução (iterativo porque h_r depende de T_{s,o}).
  1. Converter temperaturas para kelvin quando for usado \sigma:
T_i^{(K)} = 80{,}0 + 273{,}15 = 353{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_\infty^{(K)} = T_{\mathrm{sur}}^{(K)} = 20{,}0 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Inicializar com um palpite para T_{s,o}. Uso o valor médio (T_i+T_\infty)/2 = 50{,}0\\ ^\circ\mathrm{C} como palpite inicial ( 323{,}15\\ \mathrm{K}).
  2. Para cada iteração:
  • calcular h_r = \varepsilon\,\sigma\,\bigl(T_{s,o}^2+T_{\mathrm{sur}}^2\bigr)\bigl(T_{s,o}+T_{\mathrm{sur}}\bigr) com temperaturas em kelvin;
  • h_{\text{total}} = h_o + h_r;
  • resistências (por unidade de área A=1):
R_i = \frac{1}{h_i},\quad R_{\text{cond}}=\frac{L}{k},\quad R_o=\frac{1}{h_{\text{total}}}.
  • \dot{q}'' = \dfrac{T_i - T_\infty}{R_i + R_{\text{cond}} + R_o} usando temperaturas em graus Celsius é aceitável porque diferenças de temperatura em K ou °C são numericamente iguais; só a radiação exige Kelvin.
  • Atualizar T_{s,o} = T_\infty + \dfrac{\dot{q}''}{h_{\text{total}}} (em °C).
  • Checar convergência de T_{s,o} (ex.: mudança < 0{,}1^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Cálculos numéricos (iterações mostradas passo a passo).
Constantes e resistências fixas:
\frac{L}{k}=\frac{0{,}05}{1{,}5}=0{,}033333\\ \mathrm{m^2K/W}, \qquad \frac{1}{h_i}=\frac{1}{10}=0{,}1\\ \mathrm{m^2K/W}.
\sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}.
Iteração 1 — palpite inicial T_{s,o}^{(0)} = 50{,}0^\circ\mathrm{C} = 323{,}15\\ \mathrm{K}:
Calcular h_r^{(0)}:
h_r^{(0)} = \varepsilon\,\sigma\,(T_{s,o}^{2}+T_{\mathrm{sur}}^{2})(T_{s,o}+T_{\mathrm{sur}}).
Substituindo números (temperaturas em kelvin):
T_{s,o}=323{,}15\\ \mathrm{K},\quad T_{\mathrm{sur}}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Cálculo (apenas resultado numérico apresentado):
h_r^{(0)} \approx 5{,}322\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Logo h_{\text{total}}^{(0)}=h_o+h_r^{(0)}=25+5{,}322=30{,}322\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Resistências:
R_i=0{,}1,\quad R_{\text{cond}}=0{,}033333,\quad R_o^{(0)}=\frac{1}{30{,}322}=0{,}03298\\ \mathrm{m^2K/W}.
Soma:
R_{\text{tot}}^{(0)} = 0{,}1+0{,}033333+0{,}03298 = 0{,}166313\\ \mathrm{m^2K/W}.
Fluxo:
\dot{q}''^{(0)} = \frac{T_i - T_\infty}{R_{\text{tot}}^{(0)}} = \frac{80-20}{0{,}166313} \approx 360{,}7\\ \mathrm{W/m^2}.
Atualiza T_{s,o}:
T_{s,o}^{(1)} = T_\infty + \frac{\dot{q}''^{(0)}}{h_{\text{total}}^{(0)}} = 20 + \frac{360{,}7}{30{,}322} \approx 31{,}90\\ ^\circ\mathrm{C}.
Iteração 2 — usar T_{s,o}^{(1)}=31{,}90^\circ\mathrm{C}=305{,}05\\ \mathrm{K}:
Calcular h_r^{(1)} com T_{s,o}=305{,}05\\ \mathrm{K}:
h_r^{(1)} \approx 4{,}858\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Então h_{\text{total}}^{(1)}=25+4{,}858=29{,}858\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Resistências:
R_o^{(1)}=\frac{1}{29{,}858}=0{,}03350\\ \mathrm{m^2K/W}, \quad R_{\text{tot}}^{(1)}=0{,}1+0{,}033333+0{,}03350=0{,}166833\\ \mathrm{m^2K/W}.
Fluxo:
\dot{q}''^{(1)}=\frac{60}{0{,}166833}\approx 359{,}6\\ \mathrm{W/m^2}.
Atualiza T_{s,o}:
T_{s,o}^{(2)} = 20 + \frac{359{,}6}{29{,}858} \approx 32{,}05\\ ^\circ\mathrm{C}.
Iteração 3 — usar T_{s,o}^{(2)}=32{,}05^\circ\mathrm{C}=305{,}20\\ \mathrm{K}:
Calcular h_r^{(2)} (pequena variação):
h_r^{(2)} \approx 4{,}862\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}, \quad h_{\text{total}}^{(2)}\approx 29{,}862\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Repetindo, chega-se a quase o mesmo \dot{q}'' e T_{s,o} — a solução está convergida.
Cálculo das temperaturas das faces usando o valor convergente \dot{q}''\approx 359{,}6\\ \mathrm{W/m^2}:
T_{s,i} = T_i - \frac{\dot{q}''}{h_i} = 80 - \frac{359{,}6}{10} \approx 44{,}04\\ ^\circ\mathrm{C}.
T_{s,o} \approx 32{,}04\\ ^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida (queda condutiva):
T_{s,i}-T_{s,o} \approx 44{,}04 - 32{,}04 = 12{,}00\\ ^\circ\mathrm{C},
e \dot{q}'' = \dfrac{T_{s,i}-T_{s,o}}{L/k} = \dfrac{12{,}00}{0{,}033333} \approx 360{,}0\\ \mathrm{W/m^2}, consistência dentro do arredondamento.

Passo 5

Interpretação e dicas para prova (como usar esse raciocínio rapidamente):
  • Em problemas de balanço de energia em superfícies de controle, identifique quais modos de transferência aparecem. Escreva a equação geral da energia (primeira lei) e simplifique de acordo com o caso (regime estacionário, sem massa atravessando, sem trabalho → somatório das potências = 0).
  • Para uma parede plana e 1D sem geração, o fluxo é constante e pode-se montar uma rede de resistências térmicas (convecção/condutividade/radiação).
  • Quando houver radiação para o entorno, lembre-se que a lei exata é não linear ( T^4). Para inserir num circuito de resistências, linearize a radiação via um coeficiente radiativo equivalente h_r=\varepsilon\sigma\,(T_s^3+T_s^2T_{\mathrm{sur}}+T_sT_{\mathrm{sur}}^2+T_{\mathrm{sur}}^3),ou aproxime por h_r\approx 4\varepsilon\sigma T_m^3 com T_m temperatura média em kelvin. Resolva por iteração: palpite para T_s → calcular h_r → resolver q'' e T_s → repetir até convergir.
  • Em prova, se pedirem apenas ordem de grandeza, usar h_r\approx 4\varepsilon\sigma T_m^3 com T_m em kelvin é rápido e costuma bastar. Para maior precisão, realize 1–3 iterações.
  • Lembre-se de converter para kelvin sempre que usar \sigma e manter consistência de unidades. Diferenças de temperatura em °C e K são numericamente iguais, então as quedas T_i-T_\infty podem ser calculadas em °C.

Resposta

\dot{q}'' \approx 359{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
T_{s,i} \approx 44{,}04\\ ^\circ\mathrm{C}
T_{s,o} \approx 32{,}04\\ ^\circ\mathrm{C}

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