Um óleo de densidade igual a 0,85 escoa por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede da canalização é 0,33 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2} e o perfil de velocidade é dado por v=2-800 r^{2}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}), em que r é a distância radial medida a partir do eixo da tubulação. Qual é a viscosidade cinemática do óleo?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a viscosidade cinemática:
Diâmetro da tubulação: D=0,10\\ \mathrm{m}.
Tensão de cisalhamento na parede: \tau_w=0,33\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
Perfil de velocidade axial (função do raio r, medido a partir do eixo): v(r)=2-800\,r^{2}\\ \mathrm{(m/s)}.
Densidade do óleo: \rho=0,85. (Interpreto isto como \rho=0,85\\ \mathrm{g/cm^{3}}=850\\ \mathrm{kg/m^{3}}.)
O que se pede: a viscosidade cinemática \nu do óleo, em \mathrm{m^{2}/s}.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar:
Para um fluido newtoniano em escoamento axial em função do raio, a tensão de cisalhamento radial-axial é proporcional ao gradiente de velocidade:
\tau_{r z}=\mu\frac{dv}{dr},
onde \mu é a viscosidade dinâmica (ou absoluta) em \mathrm{Pa\cdot s}, v é a velocidade axial em \mathrm{m/s} e r é o raio em \mathrm{m}.
Na parede (em r=R) a tensão de cisalhamento dada \tau_w satisfaz
\tau_w=\mu\left.\frac{dv}{dr}\right|_{r=R},
onde toma-se o módulo do gradiente se for conveniente, porque a tensão pode ter sinal contrário ao gradiente.
A viscosidade cinemática é definida por
\nu=\frac{\mu}{\rho},
onde \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^{3}}.
Observação sobre unidades: o enunciado deu \tau_w em \mathrm{kgf/m^{2}}. Converter para \mathrm{N/m^{2}} (Pa) usando 1\\ \mathrm{kgf}=9,80665\\ \mathrm{N}. Portanto
Interpretação curta e incentivo: pronto — com a fórmula básica \tau=\mu\,dv/dr e o perfil dado saem \mu e então \nu. Mandou bem por trazer os dados; agora já dá pra aplicar direto em exercícios semelhantes na prova!