Um óleo de densidade igual a 0,85 escoa por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede da canalização é 0,33 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2} e o perfil de velocidade é dado por v=2-800 r^{2}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}), em que r é a distância radial medida a partir do eixo da tubulação. Qual é a viscosidade cinemática do óleo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a viscosidade cinemática:
  • Diâmetro da tubulação: D=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Tensão de cisalhamento na parede: \tau_w=0,33\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
  • Perfil de velocidade axial (função do raio r, medido a partir do eixo): v(r)=2-800\,r^{2}\\ \mathrm{(m/s)}.
  • Densidade do óleo: \rho=0,85. (Interpreto isto como \rho=0,85\\ \mathrm{g/cm^{3}}=850\\ \mathrm{kg/m^{3}}.)
    O que se pede: a viscosidade cinemática \nu do óleo, em \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar:
  • Para um fluido newtoniano em escoamento axial em função do raio, a tensão de cisalhamento radial-axial é proporcional ao gradiente de velocidade:
\tau_{r z}=\mu\frac{dv}{dr},
onde \mu é a viscosidade dinâmica (ou absoluta) em \mathrm{Pa\cdot s}, v é a velocidade axial em \mathrm{m/s} e r é o raio em \mathrm{m}.
  • Na parede (em r=R) a tensão de cisalhamento dada \tau_w satisfaz
\tau_w=\mu\left.\frac{dv}{dr}\right|_{r=R},
onde toma-se o módulo do gradiente se for conveniente, porque a tensão pode ter sinal contrário ao gradiente.
  • A viscosidade cinemática é definida por
\nu=\frac{\mu}{\rho},
onde \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Observação sobre unidades: o enunciado deu \tau_w em \mathrm{kgf/m^{2}}. Converter para \mathrm{N/m^{2}} (Pa) usando 1\\ \mathrm{kgf}=9,80665\\ \mathrm{N}. Portanto
\tau_w = 0,33\\ \mathrm{kgf/m^{2}} = 0,33\times 9,80665\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 3

Cálculo da tensão em unidades SI:
\tau_w = 0,33\times 9,80665 = 3,2359945\\ \mathrm{Pa}\approx 3,236\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calculando o gradiente de velocidade \dfrac{dv}{dr} a partir do perfil dado:
v(r)=2-800\,r^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{dr}=-1600\,r.
O raio da tubulação é R=\dfrac{D}{2}=\dfrac{0,10}{2}=0,05\\ \mathrm{m}. Avaliando o gradiente na parede:
\left.\frac{dv}{dr}\right|_{r=R}=-1600\times 0,05=-80\\ \mathrm{s^{-1}}.
Tomamos o módulo do gradiente para usar na relação com \tau_w: \left|\dfrac{dv}{dr}\right|_{r=R}=80\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Encontrar a viscosidade dinâmica \mu usando \tau_w=\mu\,\left|\dfrac{dv}{dr}\right|_{r=R}:
\mu=\frac{\tau_w}{\left|\dfrac{dv}{dr}\right|_{r=R}}=\frac{3,2359945}{80}=0,04044993125\\ \mathrm{Pa\cdot s}\approx 0,04045\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Checagem rápida de unidades: \mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{N\cdot s/m^{2}}, coerente com tensão (Pa) dividida por gradiente (s^{-1}).

Passo 6

Converter a densidade para \mathrm{kg/m^{3}} (já feito na Passo 1): \rho=850\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calcular a viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{0,04044993125}{850}=4,758815\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}\approx 4,76\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Interpretação curta e incentivo: pronto — com a fórmula básica \tau=\mu\,dv/dr e o perfil dado saem \mu e então \nu. Mandou bem por trazer os dados; agora já dá pra aplicar direto em exercícios semelhantes na prova!

Resposta

\nu=4,76\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}

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