O acréscimo de isolante térmico a uma superfície cilíndrica como, por exemplo, um fio pode algumas vezes aumentar a dissipação de calor para o meio ambiente.
(a) Para um fio
de diâmetro) qual é a espessura ótima da borracha (
), se o coeficiente de transmissão de calor é
.
(b) considerando que a capacidade de condução de corrente elétrica desse fio é limitada pela temperatura de isolação, determine o aumento percentual de transferência de calor devido a isolação.
(a) Para um fio
(b) considerando que a capacidade de condução de corrente elétrica desse fio é limitada pela temperatura de isolação, determine o aumento percentual de transferência de calor devido a isolação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá os seguintes dados:
- Diâmetro do fio:
. Logo o raio do fio (raio interno da isolação) é . - Condutividade térmica da borracha:
. - Coeficiente de transferência por convecção (para o exterior):
. (Aqui assumiu-se a unidade por metro quadrado no denominador, que é a unidade correta para .) - Pergunta (a): qual é a espessura ótima da borracha (isto é, a espessura que maximiza a dissipação de calor do fio para o ambiente)?
- Pergunta (b): considerando que a temperatura máxima do fio é fixa (limitada pelo isolante), qual o aumento percentual da transferência de calor devido à isolação ótima encontrada em (a)?
Todos os valores numéricos serão convertidos para metros no cálculo:
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais (mini-aula prática).
- Quando o calor sai do fio, ele passa primeiro pela camada de isolamento por condução radial e depois é retirado para o ar por convecção na superfície externa da isolação.
- Em regime estacionário, para um cilindro longo por unidade de comprimento, os respectivos resistores térmicos por unidade de comprimento são:
- Resistência por condução da camada entre
e :
onde é a condutividade térmica do material e é o raio externo (depois da isolação). - Resistência por convecção na superfície externa de raio
:
onde é o coeficiente convectivo (por área). - Resistência por condução da camada entre
- A resistência térmica total por unidade de comprimento é
- A taxa de calor por unidade de comprimento (potência por comprimento) entre a superfície interna (temperatura do fio)
e o ambiente é
Para maximizar
com
fixo basta minimizar
em relação a
.
Passo 3
Encontrar o
que minimiza
.
- É conveniente multiplicar
por e minimizar a função
- Derivando
em relação a e igualando a zero (condição necessária para mínimo):
- Resolver:
Observação intuitiva: existe um equilíbrio entre aumentar a área externa (o que ajuda a convecção) e aumentar a espessura (o que aumenta a resistência por condução). O valor
é o ponto ótimo.
Passo 4
Calcular numericamente
e a espessura da isolação.
- Usando os dados:
- Transformando para milímetros:
- A espessura ótima da borracha é
Para arredondamento prático podemos dar
.
Passo 5
Preparar o cálculo do aumento percentual de transferência de calor.
- Vamos comparar a taxa de calor por unidade de comprimento sem isolação (
) com a taxa com a isolação ótima ( ). Com a mesma diferença de temperatura e por unidade de comprimento, temos:
Logo a razão entre as taxas é o inverso da razão entre resistências:
- Resistência do fio nu (somente convecção na superfície de raio
):
- Resistência com isolação ótima (usar
):
Passo 6
Calcular numericamente
.
- Primeiro calcular
:
- Assim
Passo 7
Calcular numericamente
.
- Calcular o termo da condução:
- Calcular o termo da convecção externa:
- Somando:
Passo 8
Calcular a razão entre as taxas de calor e o aumento percentual.
- Razão:
- O aumento percentual (em relação ao caso sem isolação) é:
Ou seja, com a isolação ótima encontrada a transferência de calor aumenta aproximadamente
em relação ao fio nu, mantendo a mesma temperatura máxima do fio.
Passo 9
Interpretação curta e incentivo
- Resultado inesperado, né? Parece contra-intuitivo que adicionar isolante possa aumentar a perda de calor — mas isso acontece porque a isolação aumenta muito a área externa (aumenta a circunferência onde ocorre convecção) e, se o material tiver condutividade relativamente alta em relação a
, o efeito líquido pode ser uma redução da resistência total. Neste exercício a borracha com e resulta em , muito maior que o raio do fio, daí o forte aumento de dissipação. - Força aí! Se precisar, eu refaço com arredondamentos diferentes ou mostro como calcular a corrente adicional que poderia ser permitida por esse aumento de perda térmica.
Resposta
(a) Espessura ótima
(b) Aumento percentual da transferência de calor .
(b) Aumento percentual da transferência de calor