O acréscimo de isolante térmico a uma superfície cilíndrica como, por exemplo, um fio pode algumas vezes aumentar a dissipação de calor para o meio ambiente.
(a) Para um fio \mathrm{n}^{\circ} 10(2,59 \mathrm{~mm} de diâmetro) qual é a espessura ótima da borracha ( \mathrm{K}=0,12 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), se o coeficiente de transmissão de calor é 15 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}.
(b) considerando que a capacidade de condução de corrente elétrica desse fio é limitada pela temperatura de isolação, determine o aumento percentual de transferência de calor devido a isolação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá os seguintes dados:
  • Diâmetro do fio: 2,59\\ \mathrm{mm}. Logo o raio do fio (raio interno da isolação) é r_{1}=\dfrac{2,59\\ \mathrm{mm}}{2}=1,295\\ \mathrm{mm}.
  • Condutividade térmica da borracha: k=0,12\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C}).
  • Coeficiente de transferência por convecção (para o exterior): h=15\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2}\cdot^{\circ}\mathrm{C}). (Aqui assumiu-se a unidade por metro quadrado no denominador, que é a unidade correta para h.)
  • Pergunta (a): qual é a espessura ótima da borracha (isto é, a espessura que maximiza a dissipação de calor do fio para o ambiente)?
  • Pergunta (b): considerando que a temperatura máxima do fio é fixa (limitada pelo isolante), qual o aumento percentual da transferência de calor devido à isolação ótima encontrada em (a)?
Todos os valores numéricos serão convertidos para metros no cálculo:
r_{1}=1,295\\ \mathrm{mm}=0,001295\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (mini-aula prática).
  • Quando o calor sai do fio, ele passa primeiro pela camada de isolamento por condução radial e depois é retirado para o ar por convecção na superfície externa da isolação.
  • Em regime estacionário, para um cilindro longo por unidade de comprimento, os respectivos resistores térmicos por unidade de comprimento são:
    • Resistência por condução da camada entre r_{1} e r_{2}:
    R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right),onde k é a condutividade térmica do material e r_{2} é o raio externo (depois da isolação).
    • Resistência por convecção na superfície externa de raio r_{2}:
    R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{2} h},onde h é o coeficiente convectivo (por área).
  • A resistência térmica total por unidade de comprimento é
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{2} h}.
  • A taxa de calor por unidade de comprimento (potência por comprimento) entre a superfície interna (temperatura do fio) T_{i} e o ambiente T_{\infty} é
q'=\frac{T_{i}-T_{\infty}}{R_{\text{tot}}}.
Para maximizar q' com T_{i}-T_{\infty} fixo basta minimizar R_{\text{tot}} em relação a r_{2}.

Passo 3

Encontrar o r_{2} que minimiza R_{\text{tot}}.
  • É conveniente multiplicar R_{\text{tot}} por 2\pi e minimizar a função
F(r_{2})=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{h r_{2}}.
  • Derivando F em relação a r_{2} e igualando a zero (condição necessária para mínimo):
\frac{dF}{dr_{2}}=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}=0.
  • Resolver:
\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{k}=\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{r_{2}} \quad\Rightarrow\quad r_{2}=\frac{k}{h}.
Observação intuitiva: existe um equilíbrio entre aumentar a área externa (o que ajuda a convecção) e aumentar a espessura (o que aumenta a resistência por condução). O valor r_{2}=k/h é o ponto ótimo.

Passo 4

Calcular numericamente r_{2} e a espessura da isolação.
  • Usando os dados:
k=0,12,\qquad h=15\quad\Rightarrow\quad r_{2}=\frac{k}{h}=\frac{0,12}{15}=0,008\\ \mathrm{m}.
  • Transformando para milímetros:
r_{2}=0,008\\ \mathrm{m}=8{,}00\\ \mathrm{mm}.
  • A espessura ótima da borracha é
\text{espessura }t=r_{2}-r_{1}=0,008-0,001295=0,006705\\ \mathrm{m}=6{,}705\\ \mathrm{mm}.
Para arredondamento prático podemos dar t\approx6{,}71\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Preparar o cálculo do aumento percentual de transferência de calor.
  • Vamos comparar a taxa de calor por unidade de comprimento sem isolação ( q'_{\text{bare}}) com a taxa com a isolação ótima ( q'_{\text{ins}}). Com a mesma diferença de temperatura (T_{i}-T_{\infty}) e por unidade de comprimento, temos:
q'=\frac{T_{i}-T_{\infty}}{R}.
Logo a razão entre as taxas é o inverso da razão entre resistências:
\frac{q'_{\text{ins}}}{q'_{\text{bare}}}=\frac{R_{\text{bare}}}{R_{\text{ins}}}.
  • Resistência do fio nu (somente convecção na superfície de raio r_{1}):
R_{\text{bare}}=\frac{1}{2\pi r_{1} h}.
  • Resistência com isolação ótima (usar r_{2}=0,008\\ \mathrm{m}):
R_{\text{ins}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{2} h}.

Passo 6

Calcular numericamente R_{\text{bare}}.
  • Primeiro calcular 2\pi r_{1} h:
2\pi r_{1} h=2\pi\cdot 0,001295\cdot15\approx0,122041.
  • Assim
R_{\text{bare}}=\frac{1}{2\pi r_{1} h}\approx\frac{1}{0,122041}\approx8{,}1959\quad(\text{unidades de resistência por comprimento}).ê

Passo 7

Calcular numericamente R_{\text{ins}}.
  • Calcular o termo da condução:
\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{0,008}{0,001295}\right)\approx\ln(6{,}1776)\approx1{,}82097.
\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\approx\frac{1{,}82097}{2\pi\cdot0{,}12}\approx2{,}4149.
  • Calcular o termo da convecção externa:
\frac{1}{2\pi r_{2} h}=\frac{1}{2\pi\cdot0{,}008\cdot15}=\frac{1}{2\pi\cdot0{,}12}\approx1{,}3263.
  • Somando:
R_{\text{ins}}\approx2{,}4149+1{,}3263=3{,}7412.

Passo 8

Calcular a razão entre as taxas de calor e o aumento percentual.
  • Razão:
\frac{q'_{\text{ins}}}{q'_{\text{bare}}}=\frac{R_{\text{bare}}}{R_{\text{ins}}}\approx\frac{8{,}1959}{3{,}7412}\approx2{,}1908.
  • O aumento percentual (em relação ao caso sem isolação) é:
\left(\frac{q'_{\text{ins}}}{q'_{\text{bare}}}-1\right)\times100\%\approx(2{,}1908-1)\times100\%\approx119{,}08\%.
Ou seja, com a isolação ótima encontrada a transferência de calor aumenta aproximadamente 119{,}1\% em relação ao fio nu, mantendo a mesma temperatura máxima do fio.

Passo 9

Interpretação curta e incentivo
  • Resultado inesperado, né? Parece contra-intuitivo que adicionar isolante possa aumentar a perda de calor — mas isso acontece porque a isolação aumenta muito a área externa (aumenta a circunferência onde ocorre convecção) e, se o material tiver condutividade relativamente alta em relação a h, o efeito líquido pode ser uma redução da resistência total. Neste exercício a borracha com k=0{,}12 e h=15 resulta em r_{2}=k/h=8\\ \mathrm{mm}, muito maior que o raio do fio, daí o forte aumento de dissipação.
  • Força aí! Se precisar, eu refaço com arredondamentos diferentes ou mostro como calcular a corrente adicional que poderia ser permitida por esse aumento de perda térmica.

Resposta

(a) Espessura ótima t=r_{2}-r_{1}=0,006705\\ \mathrm{m}\approx6{,}71\\ \mathrm{mm}.
(b) Aumento percentual da transferência de calor \approx119{,}1\%.

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