Elabore e resolva uma questão que envolva os conceitos de dependência e independência linear (LI e LD).

Passo 1

Enunciado do exercício: Considere os vetores
v1 = (1,0,2), v2 = (2,1,3), v3 = (3,1,5)
no espaço R^3. Determine se o conjunto v1,v2,v3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Se for LD, escreva um dos vetores como combinação linear dos demais.
Conteúdo: combinação linear, sistema homogêneo, dependência e independência linear.

Passo 2

Para verificar LI ou LD, montamos a equação de combinação linear que leva ao vetor zero:
c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = (0,0,0)
Em coordenadas, isso dá o sistema homogêneo
c1 + 2c2 + 3c3 = 0, 0cdot c1 + 1cdot c2 + 1cdot c3 = 0, 2c1 + 3c2 + 5c3 = 0

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos eliminação de Gauss:
l[, 1 & 2 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 2 & 3 & 5 & 0 r]
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira e usando a segunda linha para zerar, obtemos após operações:
l[, 1 & 2 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 r] ;xrightarrowL3!+!L2; l[, 1 & 2 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 r]
Temos uma linha nula, logo há infinita de soluções não triviais para (c1,c2,c3).

Passo 4

Da segunda linha fica
c2 + c3 = 0 Longrightarrow c2 = -,c3
Da primeira linha:
c1 + 2c2 + 3c3 = 0 ;Longrightarrow; c1 + 2(-c3) + 3c3 = 0 ;Longrightarrow; c1 + c3 = 0 ;Longrightarrow; c1 = -,c3
Escolhendo c3=1 (não trivial), temos c1=-1 e c2=-1, ou seja
-,v1 ;-; v2 ;+; v3 ;=;(0,0,0) ;Longrightarrow; v3 = v1 + v2

Resposta

O conjunto v1,v2,v3 é linearmente dependente. Em particular,
v3 = v1 + v2

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