A matriz A^-1 é a inversa da matriz A=[cc2 x & 4 x & 1]. Se o determinante de A^-1 é igual a -1 / 2, calcule o determinante da matriz A+A^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 2
A = 2x & 4 x & 1
e diz que det(A^-1)=-tfrac12. Pede-se detl(A+A^-1r). Vamos usar a propriedade
det(A^-1) = 1det(A)
para encontrar det(A), em seguida determinar x, calcular A^-1, formar A+A^-1 e finalmente seu determinante.

Passo 2

Da propriedade det(A^-1)=1/det(A) temos
1det(A) = -tfrac12 Longrightarrow det(A) = -2
Mas
det(A) = det2x & 4 x & 1 = (2x)cdot1 - 4cdot x = 2x - 4x = -2x
Logo
-2x = -2 Longrightarrow x = 1

Passo 3

Substituindo x=1,
A = 2 & 4 1 & 1, det(A) = -2
A inversa de uma matriz 2times2 é
A^-1 = 1det(A) 1 & -4 -1 & 2 = -tfrac12 1 & -4 -1 & 2 = -tfrac12 & 2 [6pt] tfrac12 & -1
Logo
A + A^-1 = 2 & 4 1 & 1 + -tfrac12 & 2 tfrac12 & -1 = tfrac32 & 6 tfrac32 & 0 ]

Passo 4

Calculando o determinante de A+A^-1:
detl(A+A^-1r) = dettfrac32 & 6 [3pt] tfrac32 & 0 = l(tfrac32r)cdot0 ;-; 6cdotl(tfrac32r) = -9 ]

Resposta

-9

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