Dadas as matrizes A=(ccc2 & 0 & 1 3 & 2 & -3) e B=(ccc1 & 4 & 0 2 & -1 & 1), calcule o valor do determinante do produto A^t cdot B.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=2 & 0 & 1 3 & 2 & -3 e B=1 & 4 & 0 2 & -1 & 1
e pede det(A^tB). O conteúdo aqui é produto de matrizes (para obter A^tB) e cálculo de determinante de matriz 3times3.

Passo 2

Vamos primeiro transpor A. Como A é 2times3, sua transposta A^t é 3times2:
A^t = 2 & 3 0 & 2 1 & -3

Passo 3

Agora calculamos o produto M = A^tB. Como A^t é 3times2 e B é 2times3, M será 3times3. Cada entrada Mij é o produto escalar da i-ésima linha de A^t com a j-ésima coluna de B. Fazendo as contas:
M = 2cdot1 + 3cdot2 & 2cdot4 + 3cdot(-1) & 2cdot0 + 3cdot1 [6pt] 0cdot1 + 2cdot2 & 0cdot4 + 2cdot(-1) & 0cdot0 + 2cdot1 [6pt] 1cdot1 + (-3)cdot2 & 1cdot4 + (-3)cdot(-1) & 1cdot0 + (-3)cdot1 = 8 & 5 & 3 4 & -2 & 2 -5 & 7 & -3 ]

Passo 4

Para calcular det(M) usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofactores. Expandindo pela primeira linha:
det(M) =8det-2 & 27 & -3 -5det4 & 2-5 & -3 +3det4 & -2-5 & 7
Agora cada determinante 2times2:
det-2 & 27 & -3 =(-2)(-3)-2cdot7=6-14=-8,
det4 & 2-5 & -3 =4cdot(-3)-2cdot(-5)=-12+10=-2,
det4 & -2-5 & 7 =4cdot7-(-2)cdot(-5)=28-10=18
Logo,
det(M)=8cdot(-8)-5cdot(-2)+3cdot18 =-64+10+54=0

Resposta

0

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