The electron-positron pair that was discussed in Chapter 2 can form a hydrogenlike system called positronium. Calculate (a) the energies of the three lowest states and (b) the wavelength of the Lyman \alpha and \beta lines. (Detection of those lines is a “signature” of positronium formation.)

Passo 1

O enunciado pede (a) os três menores níveis de energia do positronium, sistema hidrogenoide formado por um elétron e um pósitron, e (b) os comprimentos de onda das linhas Lyman \alpha e \beta. Vamos usar a fórmula geral dos níveis de um átomo hidrogenoide
E_n=-\frac{\mu e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\frac1{n^2}
onde \mu é a massa reduzida do sistema.

Passo 2

Para positronium temos elétron e pósitron com mesma massa m_e, logo
\mu=\frac{m_e\,m_e}{m_e+m_e}=\frac{m_e}{2}.
Em hidrogênio puro a energia fundamental vale -13,6,eV. Como E_n\propto\mu, temos
E_n=-\frac{\mu}{m_e}\,\frac{13,6\:\text{eV}}{n^2} =-\frac{1}{2}\,\frac{13,6\:\text{eV}}{n^2} =-\frac{6,8\:\text{eV}}{n^2}.

Passo 3

Substituindo n=1,2,3:
E_1=-6,8\:\text{eV},\quad E_2=-\frac{6,8}{4}\:\text{eV}=-1,7\:\text{eV},\quad E_3=-\frac{6,8}{9}\:\text{eV}\approx-0,756\:\text{eV}.

Passo 4

A linha Lyman \alpha corresponde à transição 2\to1 com \Delta E=E_2-E_1=|-1,7-(-6,8)|=5,1\:\text{eV}.
Usando
\lambda=\frac{hc}{\Delta E} \quad\text{com}\quad hc\approx1240\:\text{eV}\cdot\text{nm},
temos
\lambda_{\alpha}=\frac{1240}{5,1}\:\text{nm}\approx243\:\text{nm}.
A linha Lyman \beta é 3\to1 com \Delta E=|E_3-E_1|=6,8-0,756=6,044\:\text{eV}, logo
\lambda_{\beta}=\frac{1240}{6,044}\:\text{nm}\approx205\:\text{nm}.

Resposta

(a) E_1=-6,8\:\text{eV}, E_2=-1,7\:\text{eV}, E_3\approx-0,756\:\text{eV}.
(b) \lambda_{\alpha}\approx243\:\text{nm}, \lambda_{\beta}\approx205\:\text{nm}.

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