S e\left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right)\binom{x}{y}=4\binom{1}{2}, determine o valor de x+y.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação matricial:
\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}\binom{x}{y}=4\binom{1}{2}.
O que se pede: determinar o valor de x+y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz multiplicadora é \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
  • O vetor incógnita é \binom{x}{y}.
  • O lado direito é 4\binom{1}{2}, que corresponde ao vetor \binom{4}{8}.]

Passo 2

Transformar a equação matricial em um sistema linear. Lembre que multiplicação de matriz 2\times2 por vetor coluna \binom{x}{y} dá, componente a componente:
\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}\binom{x}{y} = \binom{3x-1\cdot y}{1\cdot x+3y}.
Como o lado direito é \binom{4}{8}, igualamos componente a componente e obtemos o sistema:
\begin{cases} 3x - y = 4,\\[4pt] x + 3y = 8. \end{cases}]

Passo 3

Escolher um método para resolver o sistema: vamos usar eliminação (também chamada método de adição). A ideia é combinar as equações para anular uma das incógnitas.
Queremos eliminar y. Observe que as coeficientes de y nas equações são -1 e 3. Se multiplicarmos a primeira equação por 3, o coeficiente de y na primeira torna-se -3, que somado ao +3 da segunda cancela. Multiplique a primeira equação por 3:
3\cdot(3x - y = 4)\Rightarrow 9x - 3y = 12.

Passo 4

Agora some esta equação à segunda equação para eliminar y\): \[\begin{cases} 9x - 3y = 12,\\[4pt] x + 3y = 8. \end{cases}
Somando membro a membro:
(9x - 3y) + (x + 3y) = 12 + 8.
No lado esquerdo os termos em y\] se cancelam: \(-3y + 3y = 0. Portanto
10x = 20.
Dividindo por 10 obtemos
x = 2.]

Passo 5

Determinar y substituindo x=2 em uma das equações originais. Use a primeira equação 3x - y = 4:
3\cdot 2 - y = 4 \Rightarrow 6 - y = 4.
Isolando y:
-y = 4 - 6 = -2 \Rightarrow y = 2.

Passo 6

Calcular x+y:
x+y = 2 + 2 = 4.
Podemos, para conferir, substituir \binom{x}{y}=\binom{2}{2} na multiplicação matricial e ver que
\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}\binom{2}{2} = \binom{3\cdot2-1\cdot2}{1\cdot2+3\cdot2} = \binom{4}{8} = 4\binom{1}{2},
logo está consistente.]

Resposta

4

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