Determine uma transformação linear T: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3} tal que NucT =\{(1,1,0)\}.
(b) Se V=\mathbf{R}^{2} e (-3,5) é um autovetor de T associado ao autovalor 2 , determine T(-3,5).

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) Pedem uma transformação linear T:\mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{3} tal que \mathrm{Nuc}\,T=\{(1,1,0)\}. Vou interpretar isso como o núcleo sendo o subespaço gerado por (1,1,0), ou seja \mathrm{Nuc}\,T=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}.
  • (b) Dizem que V=\mathbf{R}^{2} e que (-3,5) é um autovetor de T associado ao autovalor 2. Pedem T(-3,5).
Informações relevantes dadas:
  • Para (a): queremos \ker T=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}. Em \mathbf{R}^3, isso implica \dim\ker T=1 e, pela dimensão, \mathrm{rank}\,T=2.
  • Para (b): definição de autovetor/autovalor: se v é autovetor com autovalor \lambda, então T(v)=\lambda v.

Passo 2

Estratégia para (a) — ideia geral e por que funciona: como \dim\ker T=1 deve existir um vetor não-nulo u_1=(1,1,0) que gera o núcleo. Eu vou completar u_1 para uma base de \mathbf{R}^3 com dois vetores u_2,u_3 e definir T(u_1)=0 (para garantir que u_1 está no núcleo) e escolher T(u_2),T(u_3) linearmente independentes (para obter imagem de dimensão 2). A transformação é então estendida linearmente a todo \mathbf{R}^3. Isso garante \ker T=\mathrm{span}\{u_1\} e \dim\mathrm{Im}\,T=2.
Explicando o porquê: um mapa linear é totalmente definido pelos valores em uma base; escolher T(u_1)=0 e imagens independentes para u_2,u_3 dá o núcleo e a imagem que queremos. Pelo teorema do posto-nuloidade, \dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T=3.

Passo 3

Escolho explicitamente uma base conveniente:
u_1=(1,1,0),\qquad u_2=(1,-1,0),\qquad u_3=(0,0,1).
Verificação rápida de que são independentes: se \alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3=0 então das duas primeiras coordenadas obtemos \alpha+\beta=0 e \alpha-\beta=0, somando e subtraindo dá \alpha=0,\beta=0; a terceira coordenada dá \gamma=0. Logo formam base.

Passo 4

Defino T nas vetores da base:
T(u_1)=0,\qquad T(u_2)=e_1=(1,0,0),\qquad T(u_3)=e_2=(0,1,0).
Justificativa: com isso u_1 está no núcleo e T(u_2),T(u_3) são independentes, logo \dim\mathrm{Im}\,T=2. Estendendo linearmente, isto determina T em todo \mathbf{R}^3.

Passo 5

Agora obtenho uma fórmula prática para [T) no sistema de coordenadas padrão. Seja (x,y,z)\in\mathbf{R}^3. Quero escrever (x,y,z)=a u_1+b u_2+c u_3 e encontrar a,b,c em função de x,y,z.
Calculando:
a u_1+b u_2+c u_3 = a(1,1,0)+b(1,-1,0)+c(0,0,1)=(a+b,\,a-b,\,c).
Portanto
\begin{cases} x=a+b,\\[4pt] y=a-b,\\[4pt] z=c. \end{cases}
Somando as duas primeiras equações obtemos x+y=2a\], então \[a=\frac{x+y}{2}.\] Substituindo em \(x=a+b
b=x-a=x-\frac{x+y}{2}=\frac{x-y}{2}.
E c=z.
Como T(a u_1+b u_2+c u_3)=a\cdot 0+b\,e_1+c\,e_2=(b,c,0), segue que
T(x,y,z)=\left(\frac{x-y}{2},\,z,\,0\right).]

Passo 6

Verificação do núcleo: se T(x,y,z)=0 então \frac{x-y}{2}=0 e z=0, isto é x=y e z=0. Logo (x,y,z)=x(1,1,0), ou seja \ker T=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}, como desejado. A imagem é gerada por (1,0,0) e (0,1,0), dimensão 2.
Matriz da transformação na base padrão (útil para ver diretamente): escrevendo T(x,y,z)=A(x,y,z)^T,
A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Parte (b): definição e cálculo direto. A definição de autovetor/autovalor é: se v é autovetor associado ao autovalor \lambda, então T(v)=\lambda v. Aqui \lambda=2 e v=(-3,5), portanto
T(-3,5)=2\cdot(-3,5)=(-6,10).

Resposta

(a) T:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3,\quad T(x,y,z)=\left(\dfrac{x-y}{2},\,z,\,0\right).
(b) T(-3,5)=(-6,10)

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