Dadas as matrizes \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right)_{\mathrm{e} \mathrm{B}}=\left(\begin{array}{ll}x+y & x-y \\\\ 1 & -2\end{array}\right), determine x e y para que \mathrm{A}=\mathrm{B}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[2pt] 4 & -2\end{pmatrix}
e
\mathrm{B}=\begin{pmatrix}x+y & x-y \\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}
e pede: determinar x e y de modo que \mathrm{A}=\mathrm{B}.
Informações relevantes dadas:
\mathrm{A}_{11}=3, \mathrm{A}_{12}=1, \mathrm{A}_{21}=4, \mathrm{A}_{22}=-2.
\mathrm{B}_{11}=x+y, \mathrm{B}_{12}=x-y, \mathrm{B}_{21}=1, \mathrm{B}_{22}=-2.]

Passo 2

Conceito importante (a ferramenta que usamos): duas matrizes têm que ser iguais elemento a elemento. Ou seja, para
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad N=\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}
temos M=N se, e somente se, a=p, b=q, c=r e d=s. Isso significa que, para \mathrm{A}=\mathrm{B}, cada posição correspondente deve fornecer uma igualdade numérica.

Passo 3

Aplicando essa regra às matrizes do enunciado, obtemos o sistema de igualdades formado pelas quatro posições:
x+y=3
x-y=1
1=4
-2=-2
Cada uma corresponde às posições (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2), respectivamente.

Passo 4

Observe a terceira igualdade do sistema: 1=4. Isso é uma contradição lógica — não existe nenhum número que torne 1 igual a 4. Como para \mathrm{A}=\mathrm{B} todas as quatro igualdades precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo, a presença de 1=4 torna impossível que exista qualquer par (x,y) que satisfaça todas as igualdades simultaneamente.

Passo 5

Para aprender a técnica (caso numa outra questão as quatro entradas fossem compatíveis): se ignorássemos a contradição e usássemos apenas as duas primeiras igualdades, poderíamos resolver x+y=3 e x-y=1 assim:
somando as duas equações temos
(x+y)+(x-y)=3+1 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2.
Substituindo x=2 em x+y=3 obtemos
2+y=3 \Rightarrow y=1.
Então, quando possível, a técnica é: igualar entradas correspondentes e resolver o sistema linear resultante. Mas atenção: mesmo que x=2 e y=1 satisfaçam as duas primeiras equações, elas não anulam a contradição 1=4, então não resolvem o problema original.

Passo 6

Conclusão final: devido à igualdade impossível 1=4 entre as entradas (2,1) de \mathrm{A} e \mathrm{B}, não existe nenhum par (x,y) tal que \mathrm{A}=\mathrm{B}. Uma dica prática para prova: sempre verifique primeiro entradas que já são números (como 1 e 4) — às vezes dá para detectar impossibilidade instantaneamente, sem fazer contas desnecessárias.

Resposta

Não existem x e y tais que \mathrm{A}=\mathrm{B}.

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