Um elemento de aço estrutural é submetido a um estado plano de tensão com sigmax=40 MPa, sigmay=20 MPa e taux y=15 MPa. Usando a lei de Hooke generalizada, determine as deformações principais e as deformações de cisalhamento máximas no plano e fora do plano.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente tem um elemento de aço em plano de tensão com
sigmax=40 MPa, sigmay=20 MPa, tauxy=15 MPa
E pede pra usar a lei de Hooke generalizada pra achar:
1. As deformações principais (ε₁ e ε₂)
2. As deformações de cisalhamento máximas no plano (γ_xy,max)
3. As deformações de cisalhamento máximas fora do plano (γ_xz,max e γ_yz,max)
O conteúdo é:
  • Lei de Hooke generalizada (relação tensão–deformação para material isotrópico em plano de tensão)
  • Círculo de Mohr das deformações para achar os valores principais e de cisalhamento
  • Relação entre G, E e ν
Pra resolver vamos precisar: o módulo de Young e o coeficiente de Poisson do aço (vou usar , ) e a fórmula de .

Passo 2

Calcular as deformações “brutas” no sistema varepsilonx &= 1El(sigmax - nu,sigmayr) varepsilony &= 1El(sigmay - nu,sigmaxr) gammaxy &= tauxyG = tauxy,2(1+nu)E com a lei de Hooke:
varepsilonx &= 40 - 0.3cdot20200000 = 34200000=1,70times10^-4 varepsilony &= 20 - 0.3cdot40200000 = 8200000=4,00times10^-5 G &= 2000002(1.3)=76923,MPa gammaxy &= 1576923=1,95times10^-4
Substituindo , e os valores dados:

Passo 3

Agora vamos usar as fórmulas do círculo de Mohr para deformações e achar as principais:
varepsilonmédia &= varepsilonx+varepsilony2 = 1,70times10^-4+4,00times10^-52 =1,05times10^-4, R &= raizl(varepsilonx-varepsilony2r)^2 +l(gammaxy2r)^2 = raiz(6,50times10^-5)^2+(9,75times10^-5)^2 =1,17times10^-4 é
As deformações principais são
varepsilon1 &= varepsilonmédia + R = 1,05times10^-4 + 1,17times10^-4 = 2,22times10^-4, varepsilon2 &= varepsilonmédia - R = 1,05times10^-4 - 1,17times10^-4 = -1,22times10^-5 éé

Passo 4

A deformação de cisalhamento máxima no plano é a diferença entre as deformações principais, ou
gammaxy,max = varepsilon1 - varepsilon2 = 2,22times10^-4 - (-1,22times10^-5) = 2,34times10^-4

Passo 5

Em plano de tensão também aparece varepsilonz = -nuE,(sigmax+sigmay) = -0.3200000,(40+20) = -9,00times10^-5 devido ao Poisson:
gammaxz,max &= |varepsilon1 - varepsilonz| = 2,22times10^-4 - (-9,00times10^-5) = 3,12times10^-4, gammayz,max &= |varepsilon2 - varepsilonz| = |-1,22times10^-5 - (-9,00times10^-5)| = 7,78times10^-5
As deformações de cisalhamento máximas fora do plano são

Resposta

varepsilon1 &= 2,22times10^-4, varepsilon2 = -1,22times10^-5, gammaxy,max &= 2,34times10^-4, gammaxz,max &= 3,12times10^-4, gammayz,max = 7,78times10^-5

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