Um elemento de combustível nuclear cilíndrico (
) de urânio metálico (
) é removido do reator a
. Ele é resfriado em um tanque de hélio a
com
. Calcule a temperatura no centro após 1 minuto.
Passo 1
O enunciado dá um elemento cilíndrico de combustível com as seguintes informações (vou listar tudo que temos e o que é pedido):
- Diâmetro:
. - Raio:
. - Altura (comprimento do cilindro):
. - Condutividade térmica:
. - Difusividade térmica:
. - Coeficiente de convecção com hélio:
. - Temperatura inicial uniforme do elemento:
. - Temperatura do fluido (tanque):
. - Tempo a avaliar:
.
O que o problema pede: calcular a temperatura no centro do cilindro após
.
Passo 2
Decidir a abordagem: para problemas transientes de condução com convecção na superfície temos duas opções simples: tratar o corpo como um corpo “lumped” (temperatura uniforme no sólido que varia só no tempo) ou resolver a equação de difusão espacialmente. Para escolher usamos o número de Biot:
- Definição do número de Biot:
, onde é o comprimento característico térmico do corpo, dado por (volume dividido pela área de superfície que troca calor).
Agora calculamos
e
do cilindro (troca de calor por convecção ocorre na superfície lateral e nas duas faces):
- Volume:
- Área superficial total:
Vamos calcular numericamente.
Passo 3
Calcular
e
numericamente:
Agora
:
E o número de Biot:
Passo 4
Interpretação do Biot e escolha do método:
- Para
costuma-se aceitar a hipótese de temperatura espacialmente uniforme no sólido (método lumped capacitance), porque a resistência térmica interna é pequena comparada à resistência de convecção na superfície. - Aqui
, logo o método lumped é adequado. Isso significa que a temperatura no centro é igual à temperatura média do sólido, e podemos usar a solução exponencial simples.
Explicação do modelo lumped (didático):
- A equação de energia para o sólido onde a temperatura é homogênea dá:
- Resolvendo essa equação diferencial linear com condição inicial
obtemos: - Aqui
é a densidade do material e o calor específico. Observação útil: a difusividade térmica está relacionada com por Isso permite calcular mesmo que e não sejam fornecidos separadamente.
Passo 5
Substituir
na expressão exponencial:
- O expoente fica
- Portanto a solução prática é
Agora vamos calcular numericamente o expoente com os valores que já temos.
Passo 6
Cálculo numérico do expoente e da temperatura:
-
Primeiro o numerador do expoente:Calculando passo a passo:
-
. -
. - Multiplicando por
: .
-
-
Denominador:
-
Expoente:
-
Fator exponencial:
-
Temperatura no tempo
:
Passo 7
Conclusão e verificação qualitativa:
- A temperatura calculada no centro após 1 minuto é aproximadamente
. - Faz sentido físico: começou a
e troca calor com ; em 1 minuto a peça não chega perto de porque tem inércia térmica, mas já caiu bastante. A hipótese lumped foi verificada pelo Biot pequeno.