Um elemento de combustível nuclear cilíndrico ( \mathrm{D}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{H}=6 \mathrm{~cm} ) de urânio metálico ( \alpha=1,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \mathrm{k}=27 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) é removido do reator a 500^{\circ} \mathrm{C}. Ele é resfriado em um tanque de hélio a 50^{\circ} \mathrm{C} com \mathrm{h}=250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Calcule a temperatura no centro após 1 minuto.

Passo 1

O enunciado dá um elemento cilíndrico de combustível com as seguintes informações (vou listar tudo que temos e o que é pedido):
  • Diâmetro: D=4\\ \mathrm{cm}.
  • Raio: r=\dfrac{D}{2}=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Altura (comprimento do cilindro): L=6\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=27\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m\cdot K}).
  • Difusividade térmica: \alpha=1{,}5\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Coeficiente de convecção com hélio: h=250\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Temperatura inicial uniforme do elemento: T_i=500^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do fluido (tanque): T_\infty=50^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo a avaliar: t=1\\ \text{min}=60\\ \mathrm{s}.
O que o problema pede: calcular a temperatura no centro do cilindro após t=60\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Decidir a abordagem: para problemas transientes de condução com convecção na superfície temos duas opções simples: tratar o corpo como um corpo “lumped” (temperatura uniforme no sólido que varia só no tempo) ou resolver a equação de difusão espacialmente. Para escolher usamos o número de Biot:
  • Definição do número de Biot: \mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k}, onde L_c é o comprimento característico térmico do corpo, dado por \displaystyle L_c=\dfrac{V}{A_s} (volume dividido pela área de superfície que troca calor).
Agora calculamos V e A_s do cilindro (troca de calor por convecção ocorre na superfície lateral e nas duas faces):
  • Volume: V=\pi r^2 L.
  • Área superficial total: A_s = 2\pi r L + 2\pi r^2 = 2\pi r (L + r).
Vamos calcular numericamente.

Passo 3

Calcular V e A_s numericamente:
  • V=\pi (0{,}02)^2(0{,}06)=\pi\cdot0{,}0004\cdot0{,}06=\pi\cdot0{,}000024\approx 7{,}53982\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • A_s=2\pi(0{,}02)(0{,}06+0{,}02)=2\pi\cdot0{,}02\cdot0{,}08=0{,}010053096\\ \mathrm{m}^2\\ (\text{aprox.}).
Agora L_c:
  • L_c=\dfrac{V}{A_s}=\dfrac{7{,}53982\cdot10^{-5}}{0{,}010053096}\approx 0{,}0075\\ \mathrm{m}.
E o número de Biot:
  • \mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k}=\dfrac{250\cdot0{,}0075}{27}\approx 0{,}0694.

Passo 4

Interpretação do Biot e escolha do método:
  • Para \mathrm{Bi}\lesssim0{,}1 costuma-se aceitar a hipótese de temperatura espacialmente uniforme no sólido (método lumped capacitance), porque a resistência térmica interna é pequena comparada à resistência de convecção na superfície.
  • Aqui \mathrm{Bi}\approx0{,}0694<0{,}1, logo o método lumped é adequado. Isso significa que a temperatura no centro é igual à temperatura média do sólido, e podemos usar a solução exponencial simples.
Explicação do modelo lumped (didático):
  • A equação de energia para o sólido onde a temperatura é homogênea dá: \rho c_p V \dfrac{dT}{dt} = -h A_s (T - T_\infty).
  • Resolvendo essa equação diferencial linear com condição inicial T(0)=T_i obtemos: \dfrac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \exp\!\left(-\dfrac{h A_s}{\rho c_p V}t\right).
  • Aqui \rho é a densidade do material e c_p o calor específico. Observação útil: a difusividade térmica \alpha está relacionada com \rho c_p por \alpha=\dfrac{k}{\rho c_p}\quad\Rightarrow\quad \rho c_p=\dfrac{k}{\alpha}.Isso permite calcular \rho c_p mesmo que \rho e c_p não sejam fornecidos separadamente.

Passo 5

Substituir \rho c_p=k/\alpha na expressão exponencial:
  • O expoente fica -\dfrac{h A_s}{\rho c_p V}t = -\dfrac{h A_s \alpha}{k V}\, t.
  • Portanto a solução prática é T(t)=T_\infty + (T_i-T_\infty)\exp\!\left(-\dfrac{h A_s \alpha}{k V}\, t\right).
Agora vamos calcular numericamente o expoente com os valores que já temos.

Passo 6

Cálculo numérico do expoente e da temperatura:
  • Primeiro o numerador do expoente:
    h A_s \alpha t = 250\cdot 0{,}010053096\cdot 1{,}5\cdot10^{-5}\cdot 60.
    Calculando passo a passo:
    • 1{,}5\cdot10^{-5}\cdot250=0{,}00375.
    • 0{,}00375\cdot 0{,}010053096\approx 3{,}769909\cdot10^{-5}.
    • Multiplicando por t=60: 3{,}769909\cdot10^{-5}\cdot60\approx 0{,}0022619454.
  • Denominador:
    k V = 27\cdot 7{,}53982\cdot10^{-5}\approx 0{,}0020357510.
  • Expoente:
    -\dfrac{h A_s \alpha t}{k V} \approx -\dfrac{0{,}0022619454}{0{,}0020357510}\approx -1{,}110932.
  • Fator exponencial:
    \exp(-1{,}110932)\approx 0{,}329483.
  • Temperatura no tempo t:
    T(60\\ \mathrm{s}) = 50^\circ\mathrm{C} + (500^\circ\mathrm{C}-50^\circ\mathrm{C})\cdot 0{,}329483.
T(60\\ \mathrm{s}) = 50 + 450\cdot0{,}329483 \approx 50 + 148{,}267 \approx 198{,}267^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Conclusão e verificação qualitativa:
  • A temperatura calculada no centro após 1 minuto é aproximadamente 198{,}3^\circ\mathrm{C}.
  • Faz sentido físico: começou a 500^\circ\mathrm{C} e troca calor com 50^\circ\mathrm{C}; em 1 minuto a peça não chega perto de 50^\circ\mathrm{C} porque tem inércia térmica, mas já caiu bastante. A hipótese lumped foi verificada pelo Biot pequeno.

Resposta

T(60\\ \mathrm{s})\approx 198{,}3^\circ\mathrm{C}

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