Explique matematicamente por que, ao tocar um bloco de alumínio e um bloco de madeira, ambos a 20^{\circ} \mathrm{C}, o metal parece muito mais frio ao toque da mão ( \mathrm{T}_{\text {corpo }} \approx 37^{\circ} \mathrm{C} ).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pedido: explicar matematicamente por que, ao tocar um bloco de alumínio e um bloco de madeira, ambos à 20^\circ\mathrm{C}, o metal parece muito mais frio ao toque da mão (a temperatura do corpo é \mathrm{T}_{\text{corpo}}\approx37^\circ\mathrm{C}).
  • Informações dadas:
    • Temperatura do objeto (madeira ou alumínio): T_{\text{obj}}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do corpo (mão): T_{\text{pele}}\approx37^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado não dá propriedades térmicas (condutividade, densidade, calor específico) dos materiais; portanto vou usar valores típicos de referência para explicar numericamente o efeito. Aviso: esses valores são aproximados e servem para mostrar a ordem de grandeza do fenômeno.

Passo 2

Ideia física simples: calor flui do corpo (mais quente) para o objeto (mais frio) no instante do contato. A sensação de “frio” depende de quão rápido a pele perde calor e de quanto a temperatura da superfície da pele cai imediatamente após o contato. Materiais diferentes retiram calor da pele em taxas diferentes por causa de suas propriedades térmicas.

Passo 3

Introdução à lei de condução (nojinho bonito): a condução de calor em um material é governada pela Lei de Fourier. Em forma simples, o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo térmico) é
q = -k\,\frac{dT}{dx},
onde:
  • q é o fluxo de calor por unidade de área (unidade \mathrm{W/m^2}),
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W/(m\cdot K)}),
  • dT/dx é o gradiente de temperatura perto da superfície.
Interpretação: quanto maior k, mais fácil o material conduz calor. Se usarmos uma aproximação grosseira de uma camada de espessura L, podemos escrever q\approx k\frac{\Delta T}{L}. Essa aproximação já sugere que um metal (com k grande) fornece um fluxo q muito maior do que uma madeira (com k pequeno) para a mesma diferença de temperatura. Mas isso ainda não captura bem o comportamento imediato quando dois corpos distintos entram em contato por pouco tempo — para isso usamos outra grandeza útil: a efusividade térmica.

Passo 4

Definição e significado de efusividade térmica. Para o problema do contato entre a pele e um objeto frio (processo curto e superficial) a grandeza que determina quanto calor é trocado logo após o contato é a efusividade térmica e, definida por
e=\sqrt{k\,\rho\,c},
onde:
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}),
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}),
  • c é o calor específico ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Interpretação física: e mede a habilidade de um material de “absorver” (ou “fornecer”) calor sem que sua temperatura de superfície mude muito no curto prazo. Quanto maior e, maior a capacidade inicial de sugar (ou ceder) calor num contato rápido.

Passo 5

Fórmula prática para temperatura de contato imediata. Para o contato rápido entre duas meias-infinidades (modelo padrão para contato entre pele e objeto logo após tocar), a temperatura na interface imediatamente após o contato vale
T_c=\frac{e_h\,T_h + e_o\,T_o}{e_h+e_o},
onde:
  • T_c é a temperatura da superfície comum (contato) pouco tempo após tocar,
  • T_h é a temperatura inicial da mão (pele),
  • T_o é a temperatura inicial do objeto,
  • e_h e e_o são as efusividades térmicas da mão e do objeto, respectivamente.
Justificativa curta (intuitiva): num curto intervalo de tempo a quantidade de calor que sai da mão é proporcional a e_h\,(T_h-T_c) e a quantidade que entra no objeto é proporcional a e_o\,(T_c-T_o); igualando perda e ganho obtém-se a equação acima. O ponto importante: T_c fica mais próximo da temperatura do material que tem maior efusividade.

Passo 6

Valores típicos (aproximações) para calcular ordens de grandeza — eu uso números comuns encontrados em tabelas:
  • Alumínio: k_{\text{Al}}\approx205\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \rho_{\text{Al}}\approx2700\\ \mathrm{kg/m^3}, c_{\text{Al}}\approx900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Madeira (valor médio): k_{\text{wood}}\approx0{,}12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \rho_{\text{wood}}\approx600\\ \mathrm{kg/m^3}, c_{\text{wood}}\approx1700\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Pele/tecido (aproximação): k_{h}\approx0{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \rho_{h}\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}, c_{h}\approx3500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Calculemos as efusividades usando e=\sqrt{k\,\rho\,c}.
Para o alumínio:
\begin{aligned} e_{\text{Al}} &= \sqrt{205\cdot2700\cdot900}\\[4pt] &= \sqrt{205\cdot(2700\cdot900)}\\[4pt] &= \sqrt{205\cdot2\,430\,000}\\[4pt] &= \sqrt{498\,150\,000}\approx 2{,}23\times10^{4}. \end{aligned}
Para a madeira:
\begin{aligned} e_{\text{wood}} &= \sqrt{0{,}12\cdot600\cdot1700}\\[4pt] &= \sqrt{0{,}12\cdot1\,020\,000}\\[4pt] &= \sqrt{122\,400}\approx 3{,}50\times10^{2}. \end{aligned}
Para a mão (pele):
\begin{aligned} e_{h} &= \sqrt{0{,}5\cdot1000\cdot3500}\\[4pt] &= \sqrt{1\,750\,000}\approx 1{,}32\times10^{3}. \end{aligned}
Resumo numérico aproximado:
e_{\text{Al}}\approx2{,}2\times10^{4},\qquad e_{h}\approx1{,}3\times10^{3},\qquad e_{\text{wood}}\approx3{,}5\times10^{2}.
Observação: note que e_{\text{Al}} é muito maior que e_h e e_{\text{wood}} é bem menor que e_h.]

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da temperatura de contato \displaystyle T_c=\frac{e_h T_h + e_o T_o}{e_h+e_o} para cada caso. Tomando T_h=37^\circ\mathrm{C} e T_o=20^\circ\mathrm{C}.
  1. Alumínio ( e_o=e_{\text{Al}}):
\begin{aligned} T_{c,\text{Al}} &= \frac{(1{,}32\times10^{3})\cdot37 + (2{,}23\times10^{4})\cdot20}{1{,}32\times10^{3}+2{,}23\times10^{4}}\\[4pt] &= \frac{48\,951 + 446\,700}{23\,658}\approx \frac{495\,651}{23\,658}\approx20{,}97^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}
  1. Madeira ( e_o=e_{\text{wood}}):
\begin{aligned} T_{c,\text{wood}} &= \frac{(1{,}32\times10^{3})\cdot37 + (3{,}5\times10^{2})\cdot20}{1{,}32\times10^{3}+3{,}5\times10^{2}}\\[4pt] &= \frac{48\,951 + 7\,000}{1{,}673}\approx \frac{55\,951}{1{,}673}\approx33{,}5^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}
Interpretação numérica: ao tocar o alumínio a temperatura da superfície de contato tende muito rapidamente para cerca de 21^\circ\mathrm{C} (próxima à temperatura do objeto frio), enquanto tocando a madeira a temperatura da superfície da pele fica por volta de 33{,}5^\circ\mathrm{C} — bem mais próxima da temperatura corporal.
Conclusão física: com o alumínio a pele sofre uma queda muito maior de temperatura local e num tempo muito curto; com a madeira a queda é pequena.]

Passo 8

Conexão com a sensação de frio e com o fluxo de calor. A sensação de “frio” da mão depende tanto da temperatura da superfície da pele quanto da taxa instantânea de perda de calor (fluxo q). Um modo de quantificar a tendência inicial do fluxo de calor é usar o fator
g=\frac{e_h e_o}{e_h+e_o},
que aparece nas soluções de contato transiente: o fluxo inicial escala com g e com a diferença T_h-T_o (há também dependência em t^{-1/2}, mas a comparação relativa entre materiais vem por g). Calculemos aproximadamente g para os dois casos.
Para o alumínio:
g_{\text{Al}}\approx\frac{(1{,}32\times10^{3})(2{,}23\times10^{4})}{1{,}32\times10^{3}+2{,}23\times10^{4}}\approx1{,}25\times10^{3}.
Para a madeira:
g_{\text{wood}}\approx\frac{(1{,}32\times10^{3})(3{,}5\times10^{2})}{1{,}32\times10^{3}+3{,}5\times10^{2}}\approx1{,}66\times10^{2}.
Relação dos fluxos iniciais: \dfrac{g_{\text{Al}}}{g_{\text{wood}}}\approx\frac{1{,}25\times10^{3}}{1{,}66\times10^{2}}\approx7{,}5. Ou seja, inicialmente o metal pode retirar da pele uma ordem de magnitude mais de calor do que a madeira. Isso produz a forte sensação de frio ao tocar o metal.

Passo 9

Resumo didático e motivador (em linguagem leve): o alumínio parece mais frio porque “suga” calor da sua mão muito mais rápido — tem condutividade e efusividade muito maiores que a madeira. Isso faz a temperatura da superfície da sua pele cair rapidamente para perto da temperatura do metal, e seus termorreceptores interpretam essa rápida perda de calor como sensação de frio. A madeira, sendo pobre condutora, não consegue retirar calor tão depressa, então a pele não esfria tanto e a sensação é mais morna. É isso — a matemática (efusividade e balanço de calor) explica exatamente porquê você sente diferença, mesmo quando ambos os corpos estão à mesma temperatura.

Resposta

O metal parece mais frio porque sua efusividade térmica ( e=\sqrt{k\rho c}) é muito maior que a da madeira, portanto ele retira calor da pele muito mais rapidamente; isso faz a temperatura da superfície da pele cair muito mais (p.ex. para \approx21^\circ\mathrm{C} no caso do alumínio vs \approx33{,}5^\circ\mathrm{C} para a madeira), gerando a sensação de frio.

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