Um sistema de armazenamento de energia térmica utiliza blocos de magnésia ( \mathrm{k}=3,8 \mathrm{W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \alpha=1,1.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) no formato de paralelepípedos de 20 \times 20 \times 40 \mathrm{~cm}. Os blocos estão inicialmente a 200^{\circ} \mathrm{C} e são resfriados por um fluxo de ar a 20^{\circ} \mathrm{C} com h =50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} em todas as faces. Determine a temperatura no centro do bloco após 2 horas de resfriamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Condutividade térmica: k=3{,}8\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Difusividade térmica: \alpha=1{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • Dimensões do paralelepípedo: 20\times20\times40\\ \mathrm{cm}, ou seja, 0{,}20\times0{,}20\times0{,}40\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial uniforme dos blocos: T_i=200^\circ\mathrm{C}.
    • Fluido ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção na todas as faces: h=50\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
    • Tempo de resfriamento pedido: t=2\\ \mathrm{h}=7200\\ \mathrm{s}.
  • O que é pedido:
    • Determinar a temperatura no centro do bloco após 2 horas de resfriamento.

Passo 2

Explicação da estratégia física e da hipótese a usar (por quê e como).
  • Primeiro conceito importante: número de Biot \mathrm{Bi}. Ele compara a resistência térmica superficial (convecção) com a resistência térmica interna (condução). Para um corpo com comprimento característico L_c,
    \mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}.
    Se \mathrm{Bi}<0{,}1 a temperatura pode ser considerada aproximadamente uniforme no sólido (método do “lumped capacitance”). Se \mathrm{Bi}\gtrsim0{,}1 aparecem gradientes internos e precisamos tratar a condução transiente.
  • Para um paralelepípedo simétrico, o comprimento característico a usar para decisões e para formulação 1D é a distância do centro até a face (isto é, a meia-espessura) em cada direção. As meias-espessuras são:
    L_x=L_y=\frac{0{,}20}{2}=0{,}10\\ \mathrm{m},\qquad L_z=\frac{0{,}40}{2}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
    Aqui existe condução em três direções; o problema 3D pode ser tratado como produto de soluções 1D (série tripla). Para calcular a temperatura no centro usamos a aproximação “termo dominante” (primeiro modo) da série tripla — isso é válido para tempos moderados a grandes (quando termos de ordem superior já decaíram bastante). Vou explicar essa aproximação em detalhes nos passos seguintes.

Passo 3

Cálculo dos números de Biot nas três direções e conclusão sobre a validade do regime “lumped”.
  • Calcular \mathrm{Bi} em x,y com L=0{,}10\\ \mathrm{m}: \mathrm{Bi}_{x}=\mathrm{Bi}_{y}=\frac{h L_x}{k}=\frac{50\cdot0{,}10}{3{,}8}\approx\frac{5}{3{,}8}\approx1{,}316.
  • Calcular \mathrm{Bi} em z com L=0{,}20\\ \mathrm{m}: \mathrm{Bi}_{z}=\frac{h L_z}{k}=\frac{50\cdot0{,}20}{3{,}8}\approx\frac{10}{3{,}8}\approx2{,}632.
Como \mathrm{Bi}\gg0{,}1 em todas as direções, a hipótese de temperatura espacialmente uniforme (lumped) NÃO é adequada. Precisamos do tratamento de condução transiente com convecção nas superfícies.

Passo 4

Apresentar a solução geral (fórmula usada) para a temperatura no centro usando a aproximação do termo dominante.
  • Para um sólido retangular com simetria e convecção em todas as faces, a solução do problema transiente em termos adimensionais no centro pode ser escrita como uma série tripla. A contribuição dominante costuma ser dada pelo produto dos primeiros modos em cada direção. Assim, aproximamos a fração adimensional de excesso de temperatura no centro por: \frac{T(0,0,0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\approx C_{1x}C_{1y}C_{1z} \exp\!\bigl(-\zeta_{1x}^{2}\,\mathrm{Fo}_x-\zeta_{1y}^{2}\,\mathrm{Fo}_y-\zeta_{1z}^{2}\,\mathrm{Fo}_z\bigr),onde:
    • \mathrm{Fo}_i=\dfrac{\alpha t}{L_i^{2}} é o número de Fourier associado à direção i.
    • \zeta_{1i} é a primeira raiz positiva da equação transcendental \zeta \tan\zeta=\mathrm{Bi}_i,correspondente àquela direção (essa equação aparece ao separar variáveis numa barra/placa com convecção nas superfícies).
    • O coeficiente modal C_{1i} (coeficiente do primeiro modo) é dado por C_{1i}=\frac{4\sin\zeta_{1i}}{2\zeta_{1i}+\sin(2\zeta_{1i})}.
  • Notas didáticas rápidas:
    • \mathrm{Fo} mede a razão entre difusão térmica em tempo t e a difusão numa distância L: quanto maior \mathrm{Fo}, maior alívio térmico interno.
    • As raízes \zeta_{1i} dependem de \mathrm{Bi}_i; não há expressão fechada, resolve-se numericamente.

Passo 5

Calcular os números de Fourier \mathrm{Fo} para cada direção.
  • Com \alpha=1{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} e t=7200\\ \mathrm{s}: \mathrm{Fo}_x=\mathrm{Fo}_y=\frac{\alpha t}{L_x^2}=\frac{1{,}1\times10^{-6}\cdot7200}{(0{,}10)^2}=\frac{0{,}00792}{0{,}01}=0{,}792.
\mathrm{Fo}_z=\frac{\alpha t}{L_z^2}=\frac{1{,}1\times10^{-6}\cdot7200}{(0{,}20)^2}=\frac{0{,}00792}{0{,}04}=0{,}198.

Passo 6

Determinar numericamente as primeiras raízes \zeta_{1i} das equações \zeta\tan\zeta=\mathrm{Bi}_i.
  • Direção x (e y) com \mathrm{Bi}_x\approx1{,}316. Procuramos \zeta\in(0,\tfrac{\pi}{2}) tal que \zeta\tan\zeta=1{,}316.
    • Fazendo iterações numéricas (método de tentativa e erro/refinamento), encontra-se \zeta_{1x}\approx0{,}946.
    • (verificação rápida: \zeta_{1x}\tan\zeta_{1x} fica próximo de 1{,}316.)
  • Direção z com \mathrm{Bi}_z\approx2{,}632. Resolve-se \zeta\tan\zeta=2{,}632 e obtém-se \zeta_{1z}\approx1{,}18.
  • Observação didática: essas raízes obtêm-se com facilidade por métodos numéricos simples (Newton, bisseção) ou consultando tabelas/Gráficos de \zeta\tan\zeta versus \zeta. Aqui usei iteração manual controlada suficiente para duas ou três casas relevantes.

Passo 7

Calcular os coeficientes C_{1i} usando as \zeta_{1i} encontrados.
  • Para x (e y), com \zeta_{1x}\approx0{,}946:
    • Calcular \sin\zeta_{1x} e \sin(2\zeta_{1x}) (valores numéricos aproximados) e aplicar C_{1x}=\frac{4\sin\zeta_{1x}}{2\zeta_{1x}+\sin(2\zeta_{1x})}\approx1{,}14.
    • Portanto C_{1y}=C_{1x}\approx1{,}14 (simetria).
  • Para z, com \zeta_{1z}\approx1{,}18: C_{1z}=\frac{4\sin\zeta_{1z}}{2\zeta_{1z}+\sin(2\zeta_{1z})}\approx1{,}21.
  • Produto dos coeficientes: C_{1x}C_{1y}C_{1z}\approx(1{,}14)^2\cdot1{,}21\approx1{,}586.(Esse produto pode ser maior que 1; isso é apenas parte da série completa. A aproximação de um único termo será razoável se o termo exponencial decai bastante — veremos.)

Passo 8

Montar a estimativa do fator de decaimento exponencial e calculá-lo.
  • O expoente total é E=\zeta_{1x}^{2}\,\mathrm{Fo}_x+\zeta_{1y}^{2}\,\mathrm{Fo}_y+\zeta_{1z}^{2}\,\mathrm{Fo}_z =2\zeta_{1x}^{2}\,\mathrm{Fo}_x+\zeta_{1z}^{2}\,\mathrm{Fo}_z,porque x e y têm o mesmo primeiro autovalor.
  • Substituindo valores aproximados:
    • \zeta_{1x}^{2}\approx(0{,}946)^2\approx0{,}895.
    • \zeta_{1z}^{2}\approx(1{,}18)^2\approx1{,}392.
    • Logo E\approx2\cdot0{,}895\cdot0{,}792 + 1{,}392\cdot0{,}198.
    • Calculando: 2\cdot0{,}895\cdot0{,}792 \approx 1{,}433,\qquad 1{,}392\cdot0{,}198\approx0{,}276.
E\approx1{,}433+0{,}276=1{,}709.
  • Portanto o fator exponencial é \exp(-E)\approx\exp(-1{,}709)\approx0{,}181.

Passo 9

Calcular a fração adimensional de excesso de temperatura no centro e a temperatura final.
  • Aproximação do termo dominante: \frac{T_{\text{centro}}-T_\infty}{T_i-T_\infty}\approx C_{1x}C_{1y}C_{1z}\,e^{-E} \approx1{,}586\times0{,}181\approx0{,}287.
  • Assim a temperatura no centro após t=7200\\ \mathrm{s} é T_{\text{centro}}=T_\infty + 0{,}287\,(T_i-T_\infty) =20^\circ\mathrm{C} + 0{,}287\cdot(200-20)^\circ\mathrm{C}.
T_{\text{centro}}\approx20 + 0{,}287\cdot180\approx20 + 51{,}7\approx71{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Discussão rápida sobre a precisão e se o resultado é razoável.
  • Usamos a aproximação de apenas o primeiro modo (termo dominante) na série tripla. Para tempos moderados a longos (neste caso \mathrm{Fo}_x\approx0{,}79, \mathrm{Fo}_z\approx0{,}20) os modos superiores já estão bastante amortecidos; portanto o erro da aproximação costuma ser pequeno (algumas porcentagens). Uma solução mais exata exigiria somar vários termos da série tripla (mesmo procedimento: encontrar raízes \zeta_{n} e coeficientes C_{n} para cada modo e somar), ou usar gráficos de Heisler/Moritz para bloco retangular. O valor obtido \approx71{,}7^\circ\mathrm{C} é fisicamente plausível: o centro caiu muito (de 200^\circ\mathrm{C} para ~ 72^\circ\mathrm{C}) após 2 h com este ar frio e h razoável.

Resposta

T_{\text{centro}}\approx71{,}7^\circ\mathrm{C}

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