Um sistema de armazenamento de energia térmica utiliza blocos de magnésia (
) no formato de paralelepípedos de
. Os blocos estão inicialmente a
e são resfriados por um fluxo de ar a
com h
em todas as faces. Determine a temperatura no centro do bloco após 2 horas de resfriamento.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados fornecidos:
- Condutividade térmica:
. - Difusividade térmica:
. - Dimensões do paralelepípedo:
, ou seja, . - Temperatura inicial uniforme dos blocos:
. - Fluido ambiente:
. - Coeficiente de convecção na todas as faces:
. - Tempo de resfriamento pedido:
.
- Condutividade térmica:
-
O que é pedido:
- Determinar a temperatura no centro do bloco após
horas de resfriamento.
- Determinar a temperatura no centro do bloco após
Passo 2
Explicação da estratégia física e da hipótese a usar (por quê e como).
-
Primeiro conceito importante: número de Biot
. Ele compara a resistência térmica superficial (convecção) com a resistência térmica interna (condução). Para um corpo com comprimento característico , Sea temperatura pode ser considerada aproximadamente uniforme no sólido (método do “lumped capacitance”). Se aparecem gradientes internos e precisamos tratar a condução transiente. -
Para um paralelepípedo simétrico, o comprimento característico a usar para decisões e para formulação 1D é a distância do centro até a face (isto é, a meia-espessura) em cada direção. As meias-espessuras são:Aqui existe condução em três direções; o problema 3D pode ser tratado como produto de soluções 1D (série tripla). Para calcular a temperatura no centro usamos a aproximação “termo dominante” (primeiro modo) da série tripla — isso é válido para tempos moderados a grandes (quando termos de ordem superior já decaíram bastante). Vou explicar essa aproximação em detalhes nos passos seguintes.
Passo 3
Cálculo dos números de Biot nas três direções e conclusão sobre a validade do regime “lumped”.
- Calcular
em com : - Calcular
em com :
Como
em todas as direções, a hipótese de temperatura espacialmente uniforme (lumped) NÃO é adequada. Precisamos do tratamento de condução transiente com convecção nas superfícies.
Passo 4
Apresentar a solução geral (fórmula usada) para a temperatura no centro usando a aproximação do termo dominante.
- Para um sólido retangular com simetria e convecção em todas as faces, a solução do problema transiente em termos adimensionais no centro pode ser escrita como uma série tripla. A contribuição dominante costuma ser dada pelo produto dos primeiros modos em cada direção. Assim, aproximamos a fração adimensional de excesso de temperatura no centro por:
onde: -
é o número de Fourier associado à direção . -
é a primeira raiz positiva da equação transcendental correspondente àquela direção (essa equação aparece ao separar variáveis numa barra/placa com convecção nas superfícies). - O coeficiente modal
(coeficiente do primeiro modo) é dado por
-
- Notas didáticas rápidas:
-
mede a razão entre difusão térmica em tempo e a difusão numa distância : quanto maior , maior alívio térmico interno. - As raízes
dependem de ; não há expressão fechada, resolve-se numericamente.
-
Passo 5
Calcular os números de Fourier
para cada direção.
- Com
e :
Passo 6
Determinar numericamente as primeiras raízes
das equações
.
- Direção
(e ) com . Procuramos tal que . - Fazendo iterações numéricas (método de tentativa e erro/refinamento), encontra-se
- (verificação rápida:
fica próximo de .)
- Fazendo iterações numéricas (método de tentativa e erro/refinamento), encontra-se
- Direção
com . Resolve-se e obtém-se - Observação didática: essas raízes obtêm-se com facilidade por métodos numéricos simples (Newton, bisseção) ou consultando tabelas/Gráficos de
versus . Aqui usei iteração manual controlada suficiente para duas ou três casas relevantes.
Passo 7
Calcular os coeficientes
usando as
encontrados.
- Para
(e ), com : - Calcular
e (valores numéricos aproximados) e aplicar - Portanto
(simetria).
- Calcular
- Para
, com : - Produto dos coeficientes:
(Esse produto pode ser maior que 1; isso é apenas parte da série completa. A aproximação de um único termo será razoável se o termo exponencial decai bastante — veremos.)
Passo 8
Montar a estimativa do fator de decaimento exponencial e calculá-lo.
- O expoente total é
porque e têm o mesmo primeiro autovalor. - Substituindo valores aproximados:
-
. -
. - Logo
- Calculando:
-
- Portanto o fator exponencial é
Passo 9
Calcular a fração adimensional de excesso de temperatura no centro e a temperatura final.
- Aproximação do termo dominante:
- Assim a temperatura no centro após
é
Passo 10
Discussão rápida sobre a precisão e se o resultado é razoável.
- Usamos a aproximação de apenas o primeiro modo (termo dominante) na série tripla. Para tempos moderados a longos (neste caso
, ) os modos superiores já estão bastante amortecidos; portanto o erro da aproximação costuma ser pequeno (algumas porcentagens). Uma solução mais exata exigiria somar vários termos da série tripla (mesmo procedimento: encontrar raízes e coeficientes para cada modo e somar), ou usar gráficos de Heisler/Moritz para bloco retangular. O valor obtido é fisicamente plausível: o centro caiu muito (de para ~ ) após 2 h com este ar frio e razoável.