Exercício 3) Um corpo de prova cilíndrico de tração possui as seguintes dimensões: Comprimento inicial da parte útil =70 \mathrm{~mm} e Diâmetro da parte útil =14 \mathrm{~mm}. Se a carga de escoamento e a carga máxima atingida no ensaio são respectivamente 54648 N e 80048 N , calcule as tensões limite de escoamento e de resistência do material. Calcule o comprimento final da parte útil do corpo de prova fraturado, sabendo que seu diâmetro final foi de 12 mm .

Passo 1

O enunciado dá um corpo de prova cilíndrico de tração com os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido e o que é pedido):
\text{Dados:}
L_0 = 70\\ \mathrm{mm}\quad(\text{comprimento inicial da parte útil})ú
d_0 = 14\\ \mathrm{mm}\quad(\text{diâmetro inicial da parte útil})âú
F_{escoamento} = 54648\\ \mathrm{N}\quad(\text{carga de escoamento})
F_{máxima} = 80048\\ \mathrm{N}\quad(\text{carga máxima atingida no ensaio})áá
d_f = 12\\ \mathrm{mm}\quad(\text{diâmetro final do corpo de prova fraturado})â
\text{Pedidos:}
\text{(a) tensão limite de escoamento } \sigma_{escoamento}ã
\text{(b) tensão limite de resistência (tensão última) } \sigma_{resistência}ãêãúê
\text{\text{(c)} comprimento final } L_f \text{ da parte útil após fratura}úó

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
  • Tensão nominal (engenharia) é a força aplicada dividida pela área original da seção transversal. Essa é a forma usual em ensaios de tração quando usamos a área inicial:
\sigma = \frac{F}{A_0}.
Aqui \sigma é a tensão (unidade \mathrm{N/mm^2}, que é igual a \mathrm{MPa}), F é a força (em N) e A_0 é a área inicial da seção transversal (em \mathrm{mm^2}).
  • Para uma seção circular, a área é
A_0 = \frac{\pi d_0^2}{4},
onde d_0 é o diâmetro inicial.
  • Para o comprimento final, vamos assumir conservação de volume durante a deformação plástica (hipótese usual em metais dúcteis: material incompressível). Então o volume inicial V_0 e o volume final V_f satisfazem
V_0 = A_0 L_0,\qquad V_f = A_f L_f,
e pela conservação de volume A_0 L_0 = A_f L_f. Assim
L_f = L_0\frac{A_0}{A_f}.
Como A é proporcional a d^2, fica prático escrever
L_f = L_0\left(\frac{d_0}{d_f}\right)^2.
  • Observação de unidade: ao calcular \sigma em \mathrm{N/mm^2}, o resultado já está em \mathrm{MPa} (pois 1\\ \mathrm{N/mm^2}=1\\ \mathrm{MPa}). Relaxa que não precisa converter.

Passo 3

Calcular a área inicial A_0.
A_0 = \frac{\pi d_0^2}{4} = \frac{\pi (14\\ \mathrm{mm})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 196\\ \mathrm{mm^2}}{4} = 49\pi\\ \mathrm{mm^2}.
Se quiser um valor numérico:
A_0 = 49\pi\\ \mathrm{mm^2}\approx 153{,}9380400\\ \mathrm{mm^2}.
Guarde esse número que vamos usar nas divisões.

Passo 4

Calcular a tensão limite de escoamento \sigma_{escoamento} usando \sigma=\dfrac{F}{A_0}.
\sigma_{escoamento} = \frac{F_{escoamento}}{A_0} = \frac{54648\\ \mathrm{N}}{49\pi\\ \mathrm{mm^2}}.
Agora o cálculo numérico:
\sigma_{escoamento} \approx \frac{54648}{153{,}9380400}\\ \mathrm{N/mm^2}\approx 355{,}0\\ \mathrm{MPa}.
Explicando o resultado: isso significa que, dividido pela área inicial, a carga de escoamento corresponde a uma tensão de aproximadamente \,355{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Calcular a tensão limite de resistência (tensão última) \sigma_{resistência}ê do mesmo jeito:
\sigma_{resistência} = \frac{F_{máxima}}{A_0} = \frac{80048\\ \mathrm{N}}{49\pi\\ \mathrm{mm^2}}.êá
Cálculo numérico:
\sigma_{resistência} \approx \frac{80048}{153{,}9380400}\\ \mathrm{N/mm^2}\approx 520{,}0\\ \mathrm{MPa}.ê
Interpretação: a carga máxima atingida corresponde a cerca de \,520{,}0\\ \mathrm{MPa} considerando a área inicial.

Passo 6

Agora o comprimento final L_f usando conservação de volume:
L_f = L_0\left(\frac{d_0}{d_f}\right)^2.
Substituindo os valores:
L_f = 70\\ \mathrm{mm}\left(\frac{14\\ \mathrm{mm}}{12\\ \mathrm{mm}}\right)^2 = 70\cdot\left(\frac{7}{6}\right)^2\\ \mathrm{mm}.
Calculemos:
\left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{49}{36}\approx 1{,}361111\ldots
L_f = 70\cdot\frac{49}{36}\\ \mathrm{mm} \approx 95{,}28\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático: o comprimento aumentou porque o diâmetro reduziu (material esticou), e assumimos que o volume permaneceu constante — é uma boa aproximação para muitos metais em ensaio de tração.

Resposta

\sigma_{escoamento}=355{,}0\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{resistência}=520{,}0\\ \mathrm{MPa}ê
L_f=95{,}28\\ \mathrm{mm}

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