Considerando-se que d \Omega^{C M}=2 \pi d\left(\cos \theta^{C M}\right) e a expressão (1.81), demonstre que:
\frac{d \Omega^{C M}}{d t}=\frac{4 \pi s}{\sqrt{\lambda\left(s, m_{1}^{2}, m_{2}^{2}\right) \lambda\left(s, m_{3}^{2}, m_{4}^{2}\right)}}=\frac{\pi}{|\vec{p}||\vec{q}|} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no referencial do centro de massa (CM),
\frac{d\Omega^{CM}}{dt} =\frac{4\pi s}{\sqrt{\lambda\bigl(s,m_{1}^{2},m_{2}^{2}\bigr)\,\lambda\bigl(s,m_{3}^{2},m_{4}^{2}\bigr)}} =\frac{\pi}{|\vec p|\,|\vec q|}\,,
sabendo que
d\Omega^{CM}=2\pi\,d\bigl(\cos\theta^{CM}\bigr)
e usando a expressão (1.81) que relaciona o invariável de Mandelstam t com \cos\theta^{CM}. Vamos precisar (i) escrever t em função de \cos\theta^{CM} no CM e (ii) conhecer as magnitudes dos momentos |\vec p| e |\vec q| em termos da função \lambda.

Passo 2

No CM, o invariável t pode ser escrito (pela expressão (1.81)) como
t = m_{1}^{2} + m_{3}^{2} - 2E_{1}^{*}E_{3}^{*} + 2\,|\vec p|\,|\vec q|\,\cos\theta^{CM}\,,
onde E_{1}^{*} e E_{3}^{*} são as energias das partículas 1 e 3 no CM, e |\vec p|, |\vec q| seus módulos de momento. Diferenciando em relação a \cos\theta^{CM} obtemos
\frac{dt}{d\bigl(\cos\theta^{CM}\bigr)} =2\,|\vec p|\,|\vec q|\,.

Passo 3

Como d\Omega^{CM}=2\pi\,d(\cos\theta^{CM}), substituímos d(\cos\theta^{CM})=dt/\bigl(2|\vec p|\,|\vec q|\bigr) para achar
d\Omega^{CM} =2\pi\,\frac{dt}{2\,|\vec p|\,|\vec q|} =\frac{\pi}{|\vec p|\,|\vec q|}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\Omega^{CM}}{dt} =\frac{\pi}{|\vec p|\,|\vec q|}\,.

Passo 4

Falta exprimir |\vec p| e |\vec q| em termos de s e da função kinemática \lambda. Sabe-se que, no CM,
|\vec p|=\frac{\sqrt{\lambda\bigl(s,m_{1}^{2},m_{2}^{2}\bigr)}}{2\sqrt{s}} \quad\text{e}\quad |\vec q|=\frac{\sqrt{\lambda\bigl(s,m_{3}^{2},m_{4}^{2}\bigr)}}{2\sqrt{s}}.
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|\vec p|\;|\vec q| =\frac{\sqrt{\lambda(s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})\,\lambda(s,m_{3}^{2},m_{4}^{2})}}{4\,s} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{|\vec p|\,|\vec q|} =\frac{4\,s}{\sqrt{\lambda(s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})\,\lambda(s,m_{3}^{2},m_{4}^{2})}}.

Resposta

\frac{d\Omega^{CM}}{dt} =\frac{\pi}{|\vec p|\,|\vec q|} =\frac{4\pi\,s}{\sqrt{\lambda\bigl(s,m_{1}^{2},m_{2}^{2}\bigr)\,\lambda\bigl(s,m_{3}^{2},m_{4}^{2}\bigr)}}.

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