Demonstre:
Demonstre que:
v_{r \cdot l} \equiv\left|\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right| \equiv\left|\frac{\vec{p}_{1}}{E_{1}}-\frac{\vec{p}_{2}}{E_{2}}\right|
satisfaz a expressão:
E_{1} E_{2} v_{r e l}=\left[\left(\bar{p}_{1} \bar{p}_{2}\right)^{2}-m_{1}^{2} m_{2}^{2}\right]^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, definindo-se a velocidade “relativa”
v_{\rm rel} \equiv \sqrt{\bigl(\vec v_1 - \vec v_2\bigr)^2 - \bigl|\vec v_1 \times \vec v_2\bigr|^2}
com \vec v_i=\vec p_i/E_i, vale a identidade invariante
E_1E_2\,v_{\rm rel} =\sqrt{\bigl(p_1\cdot p_2\bigr)^2 - m_1^2\,m_2^2}\,.
Para isso vamos usar recíproca relação entre energias, momentos e velocidades e propriedades do produto escalar e vetorial.

Passo 2

Escrevemos o produto escalar dos quadrimomentos em função das velocidades espaciais:
p_1\cdot p_2 \;=\; E_1E_2 \;-\;\vec p_1\cdot\vec p_2 \;=\;E_1E_2\bigl[\,1 - \vec v_1\cdot\vec v_2\bigr],
pois \vec p_i = E_i\,\vec v_i.

Passo 3

Agora consideramos
\bigl(p_1\cdot p_2\bigr)^2 - m_1^2m_2^2 =E_1^2E_2^2\Bigl[\bigl(1-\vec v_1\cdot\vec v_2\bigr)^2 - \underbrace{(1-|\vec v_1|^2)\,(1-|\vec v_2|^2)}_{=\,(m_1^2/E_1^2)(m_2^2/E_2^2)}\Bigr].

Passo 4

Expandindo o colchete e usando
\bigl|\vec v_1\times\vec v_2\bigr|^2=|\vec v_1|^2\,|\vec v_2|^2-(\vec v_1\cdot\vec v_2)^2, obtemos
\begin{aligned} \bigl(1-\vec v_1\cdot\vec v_2\bigr)^2 - (1-|\vec v_1|^2)(1-|\vec v_2|^2) &=1 -2\vec v_1\cdot\vec v_2 +(\vec v_1\cdot\vec v_2)^2 - \bigl[1 -|\vec v_1|^2 -|\vec v_2|^2 +|\vec v_1|^2|\vec v_2|^2\bigr]\\\ &=\bigl|\vec v_1-\vec v_2\bigr|^2 - \bigl|\vec v_1\times\vec v_2\bigr|^2. \end{aligned}

Passo 5

Portanto
\bigl(p_1\cdot p_2\bigr)^2 - m_1^2m_2^2 =E_1^2E_2^2\Bigl[\bigl|\vec v_1-\vec v_2\bigr|^2 - \bigl|\vec v_1\times\vec v_2\bigr|^2\Bigr] =E_1^2E_2^2\,v_{\rm rel}^2,
e tirando a raiz quadrada chega-se à identidade desejada:
E_1E_2\,v_{\rm rel} =\sqrt{\bigl(p_1\cdot p_2\bigr)^2 - m_1^2\,m_2^2}\,.

Resposta

E_{1} E_{2} \,v_{\rm rel} =\sqrt{\bigl(p_{1}\cdot p_{2}\bigr)^{2}-m_{1}^{2}m_{2}^{2}}.

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