Um elétron de 10 eV gira num plano perpendicular a um campo magnético uniforme de
. a) Qual o raio de sua órbita? b) Qual o valor da frequência para esse movimento circular? c) Qual o valor do período de rotação
? Dados:
,
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre um elétron que se move perpendicularmente a um campo magnético uniforme:
- (a) o raio da órbita circular;
- (b) a frequência desse movimento circular (frequência em Hz);
- (c) o período de rotação
.
Dados fornecidos (vou usar os valores numéricos usuais, interpretando os expoentes da forma física correta):
Vou converter a energia de elétron-volts para joules e então calcular velocidade, raio, frequência e período.
Passo 2
Converter energia de elétron-volts para joules.
Explicação rápida: uma unidade eletrón-volt (
) é a energia adquirida por uma carga elementar ao atravessar uma diferença de potencial de
. Em joules,
Portanto a energia cinética em joules é
Passo 3
Determinar a velocidade do elétron a partir da energia cinética.
Fórmula usada: a energia cinética clássica de uma partícula é
onde
é a massa e
a velocidade. Isolando
,
Explicando as variáveis:
-
é a energia cinética em joules; -
é a massa em kg; -
é a velocidade em m/s.
Agora os números:
Calculemos o quociente:
Tomando a raiz quadrada:
Comentário prático: esse valor é bem menor que a velocidade da luz (
), então a aproximação clássica (não-relativística) é válida.
Passo 4
Encontrar o raio da órbita usando equilíbrio entre força magnética e força centrípeta.
Conceito/derivação: para uma carga que se move perpendicularmente a um campo magnético, a magnitude da força magnética é
onde
é a magnitude da carga,
a velocidade e
o campo magnético. Essa força fornece a força centrípeta necessária para a órbita circular, que tem magnitude
onde
é o raio da órbita. Igualando
,
Isolando
,
Aqui:
-
é a massa do elétron; -
é a velocidade encontrada no passo anterior; -
é a carga do elétron em módulo (usar ); -
é o campo magnético.
Passo 5
Cálculo numérico do raio.
Primeiro calculemos
:
E
:
Agora
Interpretação: o raio é aproximadamente
, ou cerca de
.
Passo 6
Determinar a frequência do movimento circular (frequência de ciclotron).
Conceito: a frequência angular de revolução (pulsação) para uma carga num campo magnético uniforme é
Essa expressão surge porque, usando
e
, elimina-se
levando à fórmula acima. A frequência usual (em Hz) é
Aqui:
-
é a frequência angular em rad/s; -
é a frequência em ciclos por segundo (Hz).
Passo 7
Cálculo numérico da frequência.
Calculemos primeiro
:
Agora a frequência em Hz:
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 8
Cálculo do período
.
Relação entre período e frequência:
Aplicando o valor de
:
Interpretação: o elétron completa uma volta em cerca de
(ou
).