Um elétron de 10 eV gira num plano perpendicular a um campo magnético uniforme de 10^{-4} T. a) Qual o raio de sua órbita? b) Qual o valor da frequência para esse movimento circular? c) Qual o valor do período de rotação T ? Dados: e=1,6 \times 10-19 C, m_{\text {eletron }}=9,1 \times 10^{31} \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre um elétron que se move perpendicularmente a um campo magnético uniforme:
  • (a) o raio da órbita circular;
  • (b) a frequência desse movimento circular (frequência em Hz);
  • (c) o período de rotação T.
Dados fornecidos (vou usar os valores numéricos usuais, interpretando os expoentes da forma física correta):
\text{energia cinética }=10\\ \text{eV},é
B=10^{-4}\\ \mathrm{T},
e=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\quad(\text{carga do elétron, valor absoluto}),é
m=9{,}1\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\quad(\text{massa do elétron}).é
Vou converter a energia de elétron-volts para joules e então calcular velocidade, raio, frequência e período.

Passo 2

Converter energia de elétron-volts para joules.
Explicação rápida: uma unidade eletrón-volt ( \mathrm{eV}) é a energia adquirida por uma carga elementar ao atravessar uma diferença de potencial de 1\\ \mathrm{V}. Em joules,
1\\ \mathrm{eV}=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia cinética em joules é
K = 10\\ \mathrm{eV} = 10 \times 1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1{,}6\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Determinar a velocidade do elétron a partir da energia cinética.
Fórmula usada: a energia cinética clássica de uma partícula é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa e v a velocidade. Isolando v,
v = \sqrt{\dfrac{2K}{m}}.
Explicando as variáveis:
  • K é a energia cinética em joules;
  • m é a massa em kg;
  • v é a velocidade em m/s.
Agora os números:
v = \sqrt{\dfrac{2\times 1{,}6\times10^{-18}}{9{,}1\times10^{-31}}} = \sqrt{3{,}2\times10^{-18}\,/\,9{,}1\times10^{-31}}.
Calculemos o quociente:
\dfrac{3{,}2\times10^{-18}}{9{,}1\times10^{-31}} \approx 3{,}516\times10^{12}.
Tomando a raiz quadrada:
v \approx 1{,}876\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: esse valor é bem menor que a velocidade da luz ( \approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}), então a aproximação clássica (não-relativística) é válida.

Passo 4

Encontrar o raio da órbita usando equilíbrio entre força magnética e força centrípeta.
Conceito/derivação: para uma carga que se move perpendicularmente a um campo magnético, a magnitude da força magnética é
F_{B}=qvB,
onde q é a magnitude da carga, v a velocidade e B o campo magnético. Essa força fornece a força centrípeta necessária para a órbita circular, que tem magnitude
F_{c}=\dfrac{mv^{2}}{r},
onde r é o raio da órbita. Igualando F_{B}=F_{c},
qvB=\dfrac{mv^{2}}{r}.
Isolando r,
r=\dfrac{mv}{qB}.
Aqui:
  • m é a massa do elétron;
  • v é a velocidade encontrada no passo anterior;
  • q é a carga do elétron em módulo (usar e);
  • B é o campo magnético.

Passo 5

Cálculo numérico do raio.
Primeiro calculemos m v:
m v = 9{,}1\times10^{-31}\times 1{,}876\times10^{6} \approx 1{,}7066\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
E qB:
qB = eB = 1{,}6\times10^{-19}\times 10^{-4} = 1{,}6\times10^{-23}\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Agora
r=\dfrac{1{,}7066\times10^{-24}}{1{,}6\times10^{-23}} \approx 0{,}1067\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o raio é aproximadamente 0{,}107\\ \mathrm{m}, ou cerca de 10{,}7\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Determinar a frequência do movimento circular (frequência de ciclotron).
Conceito: a frequência angular de revolução (pulsação) para uma carga num campo magnético uniforme é
\omega=\dfrac{qB}{m}.
Essa expressão surge porque, usando r=\dfrac{mv}{qB} e v=r\omega, elimina-se v levando à fórmula acima. A frequência usual (em Hz) é
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{qB}{2\pi m}.
Aqui:
  • \omega é a frequência angular em rad/s;
  • f é a frequência em ciclos por segundo (Hz).

Passo 7

Cálculo numérico da frequência.
Calculemos primeiro \omega:
\omega=\dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times10^{-4}}{9{,}1\times10^{-31}} = \dfrac{1{,}6\times10^{-23}}{9{,}1\times10^{-31}} \approx 1{,}758\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora a frequência em Hz:
f=\dfrac{\omega}{2\pi}\approx \dfrac{1{,}758\times10^{7}}{2\pi} \approx 2{,}80\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
Ou seja, aproximadamente 2{,}80\\ \mathrm{MHz}.

Passo 8

Cálculo do período T.
Relação entre período e frequência:
T=\dfrac{1}{f}.
Aplicando o valor de f:
T \approx \dfrac{1}{2{,}80\times10^{6}}\\ \mathrm{s} \approx 3{,}57\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
Interpretação: o elétron completa uma volta em cerca de 3{,}57\times10^{-7}\\ \mathrm{s} (ou 357\\ \mathrm{ns}).

Resposta

r=0{,}1067\\ \mathrm{m}
f=2{,}80\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}
T=3{,}57\times10^{-7}\\ \mathrm{s}

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