Quatro cargas q são colocadas nos vértices de um quadrado de lado a. Uma carga Q, de mesmo sinal que as outras quatro, é colocada no centro do quadrado. Obtenha a força resultante sobre Q (em módulo, direção e sentido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Quatro cargas q idênticas estão colocadas nos quatro vértices de um quadrado de lado a.
  • Uma carga Q, de mesmo sinal que as outras quatro, está colocada no centro do quadrado.
  • Pergunta: obter a força resultante sobre Q em módulo, direção e sentido.
  • Todas as informações relevantes estão acima: posições (vértices e centro), valores simbólicos q,Q,a e o fato de os sinais serem iguais (logo a interação é repulsiva).

Passo 2

Revisão da lei de Coulomb (a fórmula que usamos): a força elétrica entre duas cargas puntuais Q e q, separadas por uma distância r, tem módulo dado por
F = k\,\frac{|Qq|}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática (ou simplesmente escrevemos k se não precisarmos do valor numérico). Explicação das variáveis:
  • F é o módulo da força entre as cargas;
  • |Qq| é o produto dos módulos das cargas;
  • r é a distância entre as cargas.
    O sentido da força é ao longo da reta que liga as cargas: se os sinais são iguais, a força é repulsiva (cada carga “empurra” a outra, ou seja, cada força atua para afastar Q da posição da carga q).

Passo 3

Calcular a distância do centro do quadrado até um vértice. O comprimento da diagonal do quadrado é a\sqrt{2}. O centro fica no meio da diagonal, então a distância do centro a cada vértice é metade da diagonal:
r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}.
Essa distância é a mesma para os quatro vértices, por simetria.

Passo 4

Calcular o módulo da força exercida por uma única carga q sobre Q. Substituindo r=\dfrac{a}{\sqrt{2}} na lei de Coulomb,
F_{1} = k\,\frac{|Qq|}{r^{2}} = k\,\frac{|Qq|}{\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}} = k\,\frac{|Qq|}{\dfrac{a^{2}}{2}} = 2k\,\frac{|Qq|}{a^{2}}.
Aqui F_{1} é o módulo da força devido a cada vértice individualmente. O sentido dessa força é de repulsão: de Q para longe do vértice que a produz.

Passo 5

Escolhemos um sistema de coordenadas com origem no centro do quadrado e eixos x e y alinhados com os lados do quadrado. Assim as posições dos vértices são
\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),\quad \left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),\quad \left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right),\quad \left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right).
Os vetores unitários do centro para os vértices são, respectivamente,
\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}),\quad \frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}),\quad \frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{\imath}-\hat{\jmath}),\quad \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}-\hat{\jmath}).
Como a força é repulsiva, a força sobre Q devido a cada vértice tem direção oposta ao vetor que vai do centro ao vértice. Portanto os vetores de força (com módulo F_{1}) são
\vec{F}_{1} = -F_{1}\,\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}),
\vec{F}_{2} = -F_{1}\,\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}),
\vec{F}_{3} = -F_{1}\,\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{\imath}-\hat{\jmath}),
\vec{F}_{4} = -F_{1}\,\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}-\hat{\jmath}).

Passo 6

Somamos vetorialmente as quatro forças. Agrupando:
\vec{F}_{\text{tot}}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}+\vec{F}_{4} = -F_{1}\frac{1}{\sqrt{2}}\Big[(\hat{\imath}+\hat{\jmath})+(-\hat{\imath}+\hat{\jmath})+(-\hat{\imath}-\hat{\jmath})+(\hat{\imath}-\hat{\jmath})\Big].
Agora somamos dentro dos colchetes os coeficientes de \hat{\imath} e \hat{\jmath}:
  • Coeficientes de \hat{\imath}: 1 + (-1) + (-1) + 1 = 0.
  • Coeficientes de \hat{\jmath}: 1 + 1 + (-1) + (-1) = 0.
    Logo o somatório entre colchetes é o vetor nulo, e portanto
\vec{F}_{\text{tot}} = \vec{0}.
Interpretando: as quatro forças de mesmo módulo, igualmente espaçadas angularmente, cancelam-se por simetria. Qualquer par de vértices opostos produz forças iguais e opostas; o resultado é anulação total.

Passo 7

Conclusão interpretativa (didática): apesar de cada vértice exercer uma força sobre Q, a disposição quadrada e a igualdade das cargas produzem uma simetria que faz com que as componentes x e y de todas as forças se anulem. Em problemas de eletrostática, sempre que tivermos cargas simétricas em volta de uma carga central, é muito comum o resultado ser força neta zero; identificar a simetria é o caminho mais rápido na prova.

Resposta

Módulo: 0
Direção: indeterminada (vetor nulo não tem direção)
Sentido: não se aplica (nenhum)

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