Quatro cargas q são colocadas nos vértices de um quadrado de lado
. Uma carga
, de mesmo sinal que as outras quatro, é colocada no centro do quadrado. Obtenha a força resultante sobre
(em módulo, direção e sentido.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Quatro cargas
idênticas estão colocadas nos quatro vértices de um quadrado de lado . - Uma carga
, de mesmo sinal que as outras quatro, está colocada no centro do quadrado. - Pergunta: obter a força resultante sobre
em módulo, direção e sentido. - Todas as informações relevantes estão acima: posições (vértices e centro), valores simbólicos
e o fato de os sinais serem iguais (logo a interação é repulsiva).
Passo 2
Revisão da lei de Coulomb (a fórmula que usamos): a força elétrica entre duas cargas puntuais
e
, separadas por uma distância
, tem módulo dado por
onde
é a constante eletrostática (ou simplesmente escrevemos
se não precisarmos do valor numérico). Explicação das variáveis:
-
é o módulo da força entre as cargas; -
é o produto dos módulos das cargas; -
é a distância entre as cargas.
O sentido da força é ao longo da reta que liga as cargas: se os sinais são iguais, a força é repulsiva (cada carga “empurra” a outra, ou seja, cada força atua para afastarda posição da carga ).
Passo 3
Calcular a distância do centro do quadrado até um vértice. O comprimento da diagonal do quadrado é
. O centro fica no meio da diagonal, então a distância do centro a cada vértice é metade da diagonal:
Essa distância é a mesma para os quatro vértices, por simetria.
Passo 4
Calcular o módulo da força exercida por uma única carga
sobre
. Substituindo
na lei de Coulomb,
Aqui
é o módulo da força devido a cada vértice individualmente. O sentido dessa força é de repulsão: de
para longe do vértice que a produz.
Passo 5
Escolhemos um sistema de coordenadas com origem no centro do quadrado e eixos
e
alinhados com os lados do quadrado. Assim as posições dos vértices são
Os vetores unitários do centro para os vértices são, respectivamente,
Como a força é repulsiva, a força sobre
devido a cada vértice tem direção oposta ao vetor que vai do centro ao vértice. Portanto os vetores de força (com módulo
) são
Passo 6
Somamos vetorialmente as quatro forças. Agrupando:
Agora somamos dentro dos colchetes os coeficientes de
e
:
- Coeficientes de
: . - Coeficientes de
: .
Logo o somatório entre colchetes é o vetor nulo, e portanto
Interpretando: as quatro forças de mesmo módulo, igualmente espaçadas angularmente, cancelam-se por simetria. Qualquer par de vértices opostos produz forças iguais e opostas; o resultado é anulação total.
Passo 7
Conclusão interpretativa (didática): apesar de cada vértice exercer uma força sobre
, a disposição quadrada e a igualdade das cargas produzem uma simetria que faz com que as componentes x e y de todas as forças se anulem. Em problemas de eletrostática, sempre que tivermos cargas simétricas em volta de uma carga central, é muito comum o resultado ser força neta zero; identificar a simetria é o caminho mais rápido na prova.
Resposta
Módulo:
Direção: indeterminada (vetor nulo não tem direção)
Sentido: não se aplica (nenhum)
Direção: indeterminada (vetor nulo não tem direção)
Sentido: não se aplica (nenhum)