Um elétron do átomo de hidrogênio recebe uma radiação de 4,84 \times 1{ }^{0-19} \mathrm{~J} e transita do nível 2 para um nível mais externo. Sendo esta radiação suficiente para o movimento do elétron. Responda:
a) Para qual nível o elétron transita com este valor de energia?
b) Qual o comprimento de onda, em nanômetros, dessa radiação recebida?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: o elétron parte do nível 2.
  • Informação: a radiação recebida tem energia \;4,84\times10^{-19}\,\mathrm{J}.
  • Condição: essa energia é suficiente para o elétron se mover para um nível mais externo (ou seja, é energia absorvida).
  • Pergunta (a): Para qual nível o elétron transita com esse valor de energia?
  • Pergunta (b): Qual é o comprimento de onda, em nanômetros, dessa radiação recebida?

Passo 2

Conceitos essenciais (aulas rápidas, mastigadas): níveis de energia do átomo de hidrogênio e diferença de energia.
  • No modelo de Bohr (usado aqui como fórmula prática), a energia do elétron no nível n é dada por
E_n = \frac{E_1}{n^2},
onde E_1 é a energia do nível fundamental ( n=1). Em joules podemos usar o valor
E_1 = -2{,}17896\times10^{-18}\,\mathrm{J}.
Aqui o sinal negativo indica que o elétron está ligado; para diferenças de energia nós usamos o valor absoluto |E_1|.
  • Se o elétron vai do nível n_i para n_f ( n_f>n_i) absorvendo energia, a energia absorvida é
\Delta E = E_{n_f}-E_{n_i}.
Como as energias são negativas, para n_f>n_i isso resulta em um número positivo.
  • No nosso caso n_i=2, logo
\Delta E = E_{n}-E_2 = E_1\!\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{2^2}\right).
Como E_1 é negativo, é conveniente trabalhar com |E_1| e escrever
\Delta E = |E_1|\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2}\right).

Passo 3

Encontrar n a partir da energia absorvida.
  • Substituímos \Delta E=4{,}84\times10^{-19}\,\mathrm{J} e |E_1|=2{,}17896\times10^{-18}\,\mathrm{J} na expressão:
4{,}84\times10^{-19}=2{,}17896\times10^{-18}\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2}\right).
  • Isolamos \frac{1}{n^2}:
\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}-\frac{4{,}84\times10^{-19}}{2{,}17896\times10^{-18}}.

Passo 4

Fazendo as contas com calma (passo a passo numérico).
  • Calcule a razão:
\frac{4{,}84\times10^{-19}}{2{,}17896\times10^{-18}}\approx0{,}2222\ldots
reconhecemos esse número como \frac{2}{9} (é útil saber que 0{,}222\ldots=\tfrac{2}{9}).
  • Então
\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{9}{36}-\frac{8}{36}=\frac{1}{36}.
  • Assim
n^2=36\quad\Rightarrow\quad n=6.
Explicação amigável: o resultado é um inteiro (6), que faz sentido físico porque os níveis são quantizados; portanto o elétron subiu do nível 2 para o nível 6.

Passo 5

Verificação rápida (checar energia calculada com n=6).
  • Calcule a diferença usando n=6:
\Delta E = |E_1|\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{36}\right)=|E_1|\cdot\frac{8}{36}=|E_1|\cdot\frac{2}{9}.
  • Com |E_1|=2{,}17896\times10^{-18}\,\mathrm{J},
\Delta E = 2{,}17896\times10^{-18}\cdot\frac{2}{9}=4{,}84\times10^{-19}\,\mathrm{J},
que é exatamente a energia dada no enunciado. Perfeito — confirmação feita.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda da radiação absorvida (aula prática sobre fótons).
  • Relação entre energia de um fóton e comprimento de onda:
E=\frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Valores numéricos que usaremos:
h=6{,}62607015\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s},\qquad c=2{,}99792458\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
  • Produto hc:
hc=6{,}62607015\times10^{-34}\times2{,}99792458\times10^{8}=1{,}98644586\times10^{-25}\,\mathrm{J\cdot m}.
  • Isolando \lambda:
\lambda=\frac{hc}{\Delta E}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{4{,}84\times10^{-19}}\;\mathrm{m}.
  • Fazendo a divisão:
\lambda\approx4{,}106\times10^{-7}\,\mathrm{m}.
  • Converter para nanômetros ( 1\,\mathrm{m}=10^{9}\,\mathrm{nm}):
\lambda\approx4{,}106\times10^{-7}\times10^{9}\,\mathrm{nm}=410{,}6\,\mathrm{nm}.
  • Interpretação curta e motivadora: isso está no azul-violeta do espectro visível — um comprimento de onda típico de linhas do hidrogênio em transições para níveis altos.

Resposta

a) n=6
b) 410{,}6\,\mathrm{nm}

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