Uma partícula subatômica se decompõe poucos nanosegundos após sua formação. Esta partícula tem massa de 206,8 vezes a massa do próton. Qual o comprimento de onda de De Broglie associado com a partícula movendo-se a uma velocidade de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o comprimento de onda de De Broglie associado a uma partícula que se move com velocidade dada. Informações fornecidas no enunciado (vou listar tudo explicitamente):
- Massa da partícula: ela é
vezes a massa do próton. - Velocidade da partícula:
. - O enunciado pede o comprimento de onda de De Broglie associado a essa partícula.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo como aplicar na prova).
- A ideia de De Broglie diz que toda partícula com momento linear
tem associada uma onda de comprimento de onda dado por:
onde:
-
é a constante de Planck ( tem unidades de ); -
é o momento linear da partícula, dado por para velocidades não-relativísticas (aqui podemos usar porque a velocidade dada é muito menor que a velocidade da luz).
Explicando as variáveis:é a massa da partícula em quilogramas ( ), é a velocidade em . Portanto, para aplicar a fórmula precisamos de , de em kg e de em . Depois calculamos e então .
Passo 3
Valores numéricos constantes e conversões de unidades (muito importante na prova — sempre verifique unidades).
- Constante de Planck: vou usar o valor padrão exato definido:
- Massa do próton (valor que usaremos):
- A velocidade fornecida está em
. Converter para : , então
Passo 4
Calcular a massa da partícula a partir do enunciado (usar a informação “206,8 vezes a massa do próton”).
- A massa da partícula é
Substituindo
:
Agora faço a multiplicação numérica (mostrando como fazer sem calculadora, em notação científica):
Calculando
(faça por partes:
e
; somando):
Portanto
Para manter algarismos significativos, podemos anotar
Passo 5
Calcular o momento linear
.
- Usando
e obtidos:
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
e os expoentes dão
. Então
Arredondando adequadamente:
Passo 6
Calcular o comprimento de onda
.
- Substituindo
e :
Dividindo os coeficientes e subtraindo expoentes (
):
Faço a divisão aproximada do coeficiente:
. Logo
Para apresentar com uma precisão compatível com os dados iniciais (tipicamente 3 algarismos significativos), escrevemos:
Passo 7
Interpretação do resultado e unidades alternativas (útil na prova para comparar ordens de grandeza).
- Em unidades mais usuais de escalas atômicas:
. Nosso resultado em picômetros é
Ou em ångströms (
):
Comentário rápido de amigo: o comprimento de onda é extremamente pequeno — muito menor que o tamanho de um átomo — o que faz sentido para partículas pesadas e relativamente lentas.