Uma partícula subatômica se decompõe poucos nanosegundos após sua formação. Esta partícula tem massa de 206,8 vezes a massa do próton. Qual o comprimento de onda de De Broglie associado com a partícula movendo-se a uma velocidade de 8,85 \times 10^{5} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de onda de De Broglie associado a uma partícula que se move com velocidade dada. Informações fornecidas no enunciado (vou listar tudo explicitamente):
  • Massa da partícula: ela é 206,8 vezes a massa do próton.
  • Velocidade da partícula: 8,85\times10^{5}\,\mathrm{cm/s}.
  • O enunciado pede o comprimento de onda de De Broglie associado a essa partícula.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo como aplicar na prova).
  • A ideia de De Broglie diz que toda partícula com momento linear p tem associada uma onda de comprimento de onda \lambda dado por:
\lambda=\frac{h}{p}
onde:
  • h é a constante de Planck ( h tem unidades de \mathrm{J\;s});
  • p é o momento linear da partícula, dado por p=m\,v para velocidades não-relativísticas (aqui podemos usar p=m\,v porque a velocidade dada é muito menor que a velocidade da luz).
    Explicando as variáveis: m é a massa da partícula em quilogramas ( \mathrm{kg}), v é a velocidade em \mathrm{m/s}. Portanto, para aplicar a fórmula precisamos de h, de m em kg e de v em \mathrm{m/s}. Depois calculamos p=m\,v e então \lambda=h/p.

Passo 3

Valores numéricos constantes e conversões de unidades (muito importante na prova — sempre verifique unidades).
  • Constante de Planck: vou usar o valor padrão exato definido:
h=6,62607015\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}.
  • Massa do próton (valor que usaremos):
m_{p}=1,6726219\times10^{-27}\,\mathrm{kg}.
  • A velocidade fornecida está em \mathrm{cm/s}. Converter para \mathrm{m/s}: 1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}, então
v=8,85\times10^{5}\,\mathrm{cm/s}=8,85\times10^{5}\times10^{-2}\,\mathrm{m/s}=8,85\times10^{3}\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a massa da partícula a partir do enunciado (usar a informação “206,8 vezes a massa do próton”).
  • A massa da partícula é
m = 206,8\;m_{p}.
Substituindo m_{p}:
m = 206,8\times\left(1,6726219\times10^{-27}\right)\,\mathrm{kg}.
Agora faço a multiplicação numérica (mostrando como fazer sem calculadora, em notação científica):
m = \left(206,8\times1,6726219\right)\times10^{-27}\,\mathrm{kg}.
Calculando 206,8\times1,6726219 (faça por partes: 200\times1,6726219=334,52438 e 6,8\times1,6726219=11,37382892; somando):
206,8\times1,6726219=345,89820892.
Portanto
m=345,89820892\times10^{-27}\,\mathrm{kg}=3,4589820892\times10^{-25}\,\mathrm{kg}.
Para manter algarismos significativos, podemos anotar
m\approx3,45898\times10^{-25}\,\mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular o momento linear p=m\,v.
  • Usando m e v obtidos:
p=m\,v=\left(3,4589820892\times10^{-25}\right)\times\left(8,85\times10^{3}\right)\;\mathrm{kg\,m/s}.
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
3,4589820892\times8,85=30\,611,99148942
e os expoentes dão 10^{-25}\times10^{3}=10^{-22}. Então
p=30\,611,99148942\times10^{-22}\,\mathrm{kg\,m/s}=3,061199148942\times10^{-21}\,\mathrm{kg\,m/s}.
Arredondando adequadamente:
p\approx3,06120\times10^{-21}\,\mathrm{kg\,m/s}.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda \lambda=\dfrac{h}{p}.
  • Substituindo h e p:
\lambda=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{3,061199148942\times10^{-21}}\,\mathrm{m}.
Dividindo os coeficientes e subtraindo expoentes ( 10^{-34}/10^{-21}=10^{-13}):
\lambda=\left(\frac{6,62607015}{3,061199148942}\right)\times10^{-13}\,\mathrm{m}.
Faço a divisão aproximada do coeficiente: \dfrac{6,62607015}{3,061199148942}\approx2,16453. Logo
\lambda\approx2,16453\times10^{-13}\,\mathrm{m}.
Para apresentar com uma precisão compatível com os dados iniciais (tipicamente 3 algarismos significativos), escrevemos:
\lambda\approx2,16\times10^{-13}\,\mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação do resultado e unidades alternativas (útil na prova para comparar ordens de grandeza).
  • Em unidades mais usuais de escalas atômicas: 1\,\mathrm{pm}=10^{-12}\,\mathrm{m}. Nosso resultado em picômetros é
\lambda\approx0,216\times10^{-12}\,\mathrm{m}=0,216\,\mathrm{pm}.
Ou em ångströms ( 1\,\text{\AA}=10^{-10}\,\mathrm{m}):
\lambda\approx2,16\times10^{-3}\,\text{\AA}.
Comentário rápido de amigo: o comprimento de onda é extremamente pequeno — muito menor que o tamanho de um átomo — o que faz sentido para partículas pesadas e relativamente lentas.

Resposta

\lambda\approx2,16\times10^{-13}\,\mathrm{m} (equivalente a \,0,216\,\mathrm{pm}).

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