Um elétron, confinado num poço infinito de largura 3,0 nm, está no seu estado fundamental ( n=1 ). (a) Qual a incerteza mínima do seu momentum linear, neste estado (estado fundamental)? (b) Qual a energia do quinto estado excitado (n=6)? (c) Qual o módulo do momentum linear do elétron no quinto estado excitado? (d) Qual o comprimento de onda de De Broglie do elétron no quinto estado excitado ( n=6 )? (e) Qual o comprimento de onda do fóton que será emitido quando o elétron fizer uma transição do quinto estado excitado para o estado fundamental? R.: (a) 3,0 nm; (b) E 6=2,41 times 10-19 J=1,5 eV; (c) 1,1 times 10-25 kg m / s; (d) 2 nm ; (e) 848,17 nm.

Passo 1

O enunciado trata de um elétron confinado num poço infinito de largura L=3,0 nm, em estados estacionários quantizados de número quântico n. Vamos usar os resultados padrão:
En=n^2pi^2hbar^22mL^2
e
De<a p=raizlang<= p^2rang<=-lang<= prang<=^2comlang<= p^2rang<==n^2pi^2hbar^2L^2,;lang<= prang<==0
Pedem: (a) De<a p no estado fundamental ( n=1), (b) energia do quinto estado excitado ( n=6), (c) módulo de p em n=6, (d) comprimento de onda de De Broglie em n=6, (e) lambda do fóton emitido em transição 6to1.

Passo 2

Em poço infinito De<a p=npihbar/L. Para n=1:
De<a p=pihbarL
Usando hbar=1,055times10^-34 J·s e L=3,0times10^-9 m,
De<a papprox1,11times10^-25 kg·m/s

Passo 3

A energia do nível n=6 é
E6=6^2pi^2hbar^22mL^2 =36,pi^2hbar^22mL^2
Com m=9,11times10^-31 kg, obtemos
E6approx2,41times10^-19 Japprox1,51 eV

Passo 4

O módulo do momentum em n=6 vale
p6=6pihbarLapprox6cdot1,11times10^-25approx6,66times10^-25 kg·m/s

Passo 5

O comprimento de onda de De Broglie é
lambda6=hp6,
com h=6,626times10^-34 J·s, logo
lambda6approx6,626times10^-346,66times10^-25approx1,00times10^-9 m=1,00 nm

Passo 6

Para a transição 6to1 a diferença de energia é
De<a E=E6-E1,
sendo
E1=pi^2hbar^22mL^2approx6,70times10^-21 J
Então
De<a Eapprox2,41times10^-19-6,70times10^-21=2,34times10^-19 J
e o comprimento de onda do fóton emitido é
lambdafóton=hcDe<a E approx6,626times10^-34cdot3,00times10^82,34times10^-19 approx8,48times10^-7 m=848 nm ó

Resposta

(a) De<a papprox1,11times10^-25 kg·m/s.
(b) E6approx2,41times10^-19 J approx1,51 eV.
(c) p6approx6,66times10^-25 kg·m/s.
(d) lambda6approx1,00 nm.
(e) lambdafótonapprox848ó nm.

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