Um elétron é confinado em um poço de potencial infinito com 100 pm de largura no estado fundamental. Um detector de largura \Delta \mathrm{x}=5,0 \mathrm{pm} é instalado em uma região em torno do ponto \mathrm{x}=50 \mathrm{pm}. Considere que a largura do detector é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante em seu interior.
a) ( 2,0 pontos) Qual a probabilidade de que o elétron seja detectado nesse ponto?
b) ( 1,0 ponto) A cada mil vezes que realizamos esse experimento, quantas vezes, em média, o elétron será detectado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados que peguei no enunciado:
    • Largura do poço: L=100\\ \mathrm{pm}.
    • O elétron está no estado fundamental.
    • Um detector de largura \Delta x=5,0\\ \mathrm{pm} é instalado em torno do ponto x=50\\ \mathrm{pm}.
    • O enunciado diz que a largura do detector é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante dentro dele.
  • Perguntas:
    a) Qual a probabilidade de que o elétron seja detectado nessa região (ou seja, dentro do intervalo de largura \Delta x centrado em x=50\\ \mathrm{pm})?
    b) A cada mil vezes que realizamos esse experimento, quantas vezes, em média, o elétron será detectado?

Passo 2

Entender a função de onda do estado fundamental do poço infinito e a interpretação probabilística.
  • Para um poço de potencial infinito com fronteiras em x=0 e x=L, o estado fundamental (primeiro modo) tem função de onda
\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right),
onde \psi_1(x) é a amplitude de probabilidade e L é a largura do poço. Explicando o significado de cada termo:
  • \sqrt{\dfrac{2}{L}} é a constante de normalização; ela garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em 0\le x\le L seja 1.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right) dá a forma espacial do estado fundamental, com um máximo no meio do poço.
  • A densidade de probabilidade (probabilidade por unidade de comprimento) é
|\psi_1(x)|^2=\frac{2}{L}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{L}\right).
Interpretação física: a probabilidade de encontrar o elétron em um pequeno intervalo [x,x+dx] é aproximadamente |\psi_1(x)|^2\,dx.

Passo 3

Avaliar a densidade de probabilidade no ponto x=50\\ \mathrm{pm}.
  • Como L=100\\ \mathrm{pm}, o ponto x=50\\ \mathrm{pm} é exatamente o meio do poço: x=\tfrac{L}{2}.
  • Calcular o seno:
\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)\Bigg|_{x=L/2}=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
  • Portanto, a densidade de probabilidade no meio vale
|\psi_1(L/2)|^2=\frac{2}{L}.
Isso significa que, por unidade de comprimento, a probabilidade é \dfrac{2}{L} no centro (o máximo da densidade).

Passo 4

Aproximação para detector estreito: probabilidade dentro do detector.
  • Quando o detector é pequeno e a densidade é quase constante dentro dele, a probabilidade de detectar a partícula dentro do intervalo de largura \Delta x centrado em x_0 é aproximada por
P \approx |\psi_1(x_0)|^2\,\Delta x.
Aqui x_0=L/2 e usamos |\psi_1(L/2)|^2=\dfrac{2}{L}.
  • Substituindo os valores (atenção às unidades: ambas as distâncias em \mathrm{pm}, então a razão é adimensional):
P \approx \frac{2}{L}\,\Delta x = \frac{2}{100\\ \mathrm{pm}}\times 5{,}0\\ \mathrm{pm}.
  • Fazer a conta (as unidades de \mathrm{pm} cancelam):
P \approx \frac{2\times 5{,}0}{100}= \frac{10{,}0}{100}=0{,}10.
  • Interpretando: a probabilidade é 0{,}10, ou seja, 10\%.
Observação didática rápida: por que essa aproximação funciona? A função \sin^2(\pi x/L) varia num comprimento de escala da ordem de L (meio-onda). Se \Delta x\ll L, então dentro do intervalo \sin^2(\pi x/L) não muda muito, e podemos aproximá-la por seu valor central.

Passo 5

Quantas vezes, em média, o elétron será detectado em 1000 repetições?
  • Se em cada experimento a probabilidade de sucesso (detecção) é P=0{,}10, então para N=1000 experimentos independentes o valor esperado (média) de detecções é
\langle n\rangle = N P = 1000\times 0{,}10 = 100.
  • Interpretação: em média, espera-se detectar o elétron 100 vezes a cada 1000 repetições. (Isto é a esperança matemática de uma variável binomial com parâmetros N e P.)

Resposta

(a) P=0{,}10 (10%)
(b) 100 vezes (em média, a cada 1000 experimentos)

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