Um elétron é confinado em um poço de potencial infinito com 100 pm de largura no estado fundamental. Um detector de largura \Delta \mathrm{x}=5,0 \mathrm{pm} é instalado em uma região em torno do ponto \mathrm{x}=50 \mathrm{pm}. Considere que a largura do detector é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante em seu interior.
a) ( 2,0 pontos) Qual a probabilidade de que o elétron seja detectado nesse ponto?
b) ( 1,0 ponto) A cada mil vezes que realizamos esse experimento, quantas vezes, em média, o elétron será detectado?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados que peguei no enunciado:
Largura do poço: L=100\\ \mathrm{pm}.
O elétron está no estado fundamental.
Um detector de largura \Delta x=5,0\\ \mathrm{pm} é instalado em torno do ponto x=50\\ \mathrm{pm}.
O enunciado diz que a largura do detector é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante dentro dele.
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de que o elétron seja detectado nessa região (ou seja, dentro do intervalo de largura \Delta x centrado em x=50\\ \mathrm{pm})?
b) A cada mil vezes que realizamos esse experimento, quantas vezes, em média, o elétron será detectado?
Passo 2
Entender a função de onda do estado fundamental do poço infinito e a interpretação probabilística.
Para um poço de potencial infinito com fronteiras em x=0 e x=L, o estado fundamental (primeiro modo) tem função de onda
Portanto, a densidade de probabilidade no meio vale
|\psi_1(L/2)|^2=\frac{2}{L}.
Isso significa que, por unidade de comprimento, a probabilidade é \dfrac{2}{L} no centro (o máximo da densidade).
Passo 4
Aproximação para detector estreito: probabilidade dentro do detector.
Quando o detector é pequeno e a densidade é quase constante dentro dele, a probabilidade de detectar a partícula dentro do intervalo de largura \Delta x centrado em x_0 é aproximada por
P \approx |\psi_1(x_0)|^2\,\Delta x.
Aqui x_0=L/2 e usamos |\psi_1(L/2)|^2=\dfrac{2}{L}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: ambas as distâncias em \mathrm{pm}, então a razão é adimensional):
P \approx \frac{2}{L}\,\Delta x = \frac{2}{100\\ \mathrm{pm}}\times 5{,}0\\ \mathrm{pm}.
Fazer a conta (as unidades de \mathrm{pm} cancelam):
P \approx \frac{2\times 5{,}0}{100}= \frac{10{,}0}{100}=0{,}10.
Interpretando: a probabilidade é 0{,}10, ou seja, 10\%.
Observação didática rápida: por que essa aproximação funciona? A função \sin^2(\pi x/L) varia num comprimento de escala da ordem de L (meio-onda). Se \Delta x\ll L, então dentro do intervalo \sin^2(\pi x/L) não muda muito, e podemos aproximá-la por seu valor central.
Passo 5
Quantas vezes, em média, o elétron será detectado em 1000 repetições?
Se em cada experimento a probabilidade de sucesso (detecção) é P=0{,}10, então para N=1000 experimentos independentes o valor esperado (média) de detecções é
\langle n\rangle = N P = 1000\times 0{,}10 = 100.
Interpretação: em média, espera-se detectar o elétron 100 vezes a cada 1000 repetições. (Isto é a esperança matemática de uma variável binomial com parâmetros N e P.)
Resposta
(a) P=0{,}10 (10%)
(b) 100 vezes (em média, a cada 1000 experimentos)