Seja
para uma partícula livre. Fizemos
e
para obter a função de onda
. Suponha que tivéssemos feito
e
.
a) (1,5 ponto) Qual seria a função de onda resultante? Que significa essa mudança?
b) (1,5 ponto) Haveria alguma modificação na densidade de probabilidade? Por quê?
a) (1,5 ponto) Qual seria a função de onda resultante? Que significa essa mudança?
b) (1,5 ponto) Haveria alguma modificação na densidade de probabilidade? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá a solução geral para a partícula livre
e informa que já foi feita a escolha
,
obtendo-se
. Agora supõe-se a escolha oposta
,
e pede-se:
(a) qual seria a função de onda resultante e o que significa essa mudança;
(b) se haveria alguma modificação na densidade de probabilidade e por quê.
(a) qual seria a função de onda resultante e o que significa essa mudança;
(b) se haveria alguma modificação na densidade de probabilidade e por quê.
Informações relevantes dadas:
-
e são amplitudes complexas (aqui ambas substituídas por e ); -
é o número de onda (real, associado à variação espacial da fase); -
é a amplitude complexa constante (normalização não discutida — plane waves não são normalizáveis no sentido usual).
Passo 2
Calcular explicitamente a função de onda quando
e
.
Substituindo na forma geral:
Portanto a função de onda resultante é
.
Passo 3
Explicar o significado físico dessa mudança (passo a passo e didático).
- O fator de fase espacial
descreve ondas planas que se propagam em direções opostas: é convenção para onda viajando para a direita (quando ) e para a esquerda. Assim trocar por inverte a direção de propagação. - O operador momento unidimensional é
onde
é a constante de Planck reduzida. Aplicando
às ondas plane:
Portanto cada onda plana é autovalor do operador momento: a primeira tem momento
, a segunda tem momento
. Conclusão: a mudança troca o sinal do momento esperado (inverte a direção do impulso).
- A energia cinética (operador
) depende de , logo as duas ondas têm a mesma energia
Passo 4
Calcular a densidade de probabilidade e verificar se muda.
A densidade de probabilidade é
Para
tem-se
logo
O fator de fase cancela exatamente porque
tem módulo
. Portanto a densidade é constante no espaço e igual a
.
Conclusão parcial: a densidade de probabilidade NÃO muda ao trocar
por
, desde que as amplitudes tenham mesmo módulo.
Passo 5
Comentário adicional útil para entender limites e contrastes (didática prática).
- Se as duas componentes estivessem presentes simultaneamente (
e ), haveria interferência e a densidade não seria necessariamente constante:
o termo cruzado gera oscilações espaciais (ondas estacionárias se
e
têm magnitudes comparáveis). No caso dado na questão, só uma das componentes existe, então nenhuma interferência aparece.
- Também é didaticamente útil conhecer a corrente de probabilidade unidimensional, definida por
Para
obtemos
então
Ou seja, embora a densidade não mude, a corrente de probabilidade (e portanto o sentido do fluxo de partículas) inverte de sinal quando se troca
por
.
Resposta
(a)
Essa mudança inverte a direção de propagação (onda para a esquerda): o momento esperado passa de
para
, enquanto a energia
permanece a mesma.
(b) Não. A densidade de probabilidade é
, constante; a fase espacial
tem módulo 1 e não altera
.