Seja \psi(x)=A e^{i k x}+B e^{-i k x} para uma partícula livre. Fizemos \mathrm{B}=0 e \mathrm{A}=\psi_{o} para obter a função de onda \psi(x)=\psi_{o} e^{i k x}. Suponha que tivéssemos feito \mathrm{A}=0 e \mathrm{B}=\psi_{o}.
a) (1,5 ponto) Qual seria a função de onda resultante? Que significa essa mudança?
b) (1,5 ponto) Haveria alguma modificação na densidade de probabilidade? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá a solução geral para a partícula livre
\psi(x)=A e^{i k x}+B e^{-i k x},
e informa que já foi feita a escolha B=0, A=\psi_{0} obtendo-se \psi(x)=\psi_{0} e^{i k x}. Agora supõe-se a escolha oposta A=0, B=\psi_{0} e pede-se:
(a) qual seria a função de onda resultante e o que significa essa mudança;
(b) se haveria alguma modificação na densidade de probabilidade e por quê.
Informações relevantes dadas:
  • A e B são amplitudes complexas (aqui ambas substituídas por 0 e \psi_{0});
  • k é o número de onda (real, associado à variação espacial da fase);
  • \psi_{0} é a amplitude complexa constante (normalização não discutida — plane waves não são normalizáveis no sentido usual).

Passo 2

Calcular explicitamente a função de onda quando A=0 e B=\psi_{0}.
Substituindo na forma geral:
\psi(x)=0\cdot e^{i k x}+\psi_{0} e^{-i k x}=\psi_{0} e^{-i k x}.
Portanto a função de onda resultante é \psi(x)=\psi_{0} e^{-i k x}.

Passo 3

Explicar o significado físico dessa mudança (passo a passo e didático).
  • O fator de fase espacial e^{\pm i k x} descreve ondas planas que se propagam em direções opostas: e^{i k x} é convenção para onda viajando para a direita (quando k>0) e e^{-i k x} para a esquerda. Assim trocar e^{i k x} por e^{-i k x} inverte a direção de propagação.
  • O operador momento unidimensional é
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida. Aplicando \hat p às ondas plane:
\hat p(\psi_{0} e^{i k x}) = -i\hbar \frac{d}{dx}(\psi_{0} e^{i k x}) = -i\hbar (i k)\psi_{0} e^{i k x} = \hbar k\,\psi_{0} e^{i k x},
\hat p(\psi_{0} e^{-i k x}) = -i\hbar \frac{d}{dx}(\psi_{0} e^{-i k x}) = -i\hbar (-i k)\psi_{0} e^{-i k x} = -\hbar k\,\psi_{0} e^{-i k x}.
Portanto cada onda plana é autovalor do operador momento: a primeira tem momento \hbar k, a segunda tem momento -\hbar k. Conclusão: a mudança troca o sinal do momento esperado (inverte a direção do impulso).
  • A energia cinética (operador \hat H=\hat p^{2}/(2m)) depende de k^{2}, logo as duas ondas têm a mesma energia
E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.

Passo 4

Calcular a densidade de probabilidade e verificar se muda.
A densidade de probabilidade é
\rho(x)=|\psi(x)|^{2}=\psi^{*}(x)\psi(x).
Para \psi(x)=\psi_{0} e^{-i k x} tem-se
\psi^{*}(x)=\psi_{0}^{*} e^{i k x},
logo
\rho(x)=\psi_{0}^{*} e^{i k x}\cdot \psi_{0} e^{-i k x}=|\psi_{0}|^{2}\,e^{i k x}e^{-i k x}=|\psi_{0}|^{2}.
O fator de fase cancela exatamente porque e^{i k x} tem módulo 1. Portanto a densidade é constante no espaço e igual a |\psi_{0}|^{2}.
Conclusão parcial: a densidade de probabilidade NÃO muda ao trocar e^{i k x} por e^{-i k x}, desde que as amplitudes tenham mesmo módulo.

Passo 5

Comentário adicional útil para entender limites e contrastes (didática prática).
  • Se as duas componentes estivessem presentes simultaneamente ( A\neq 0 e B\neq 0), haveria interferência e a densidade não seria necessariamente constante:
|\psi|^{2}=|A e^{i k x}+B e^{-i k x}|^{2}=|A|^{2}+|B|^{2}+2\Re\!\big(A B^{*} e^{i2k x}\big),
o termo cruzado gera oscilações espaciais (ondas estacionárias se A e B têm magnitudes comparáveis). No caso dado na questão, só uma das componentes existe, então nenhuma interferência aparece.
  • Também é didaticamente útil conhecer a corrente de probabilidade unidimensional, definida por
j(x)=\frac{\hbar}{m}\Im\!\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi\big).
Para \psi=\psi_{0} e^{\pm i k x} obtemos
\partial_{x}\psi = \pm i k\,\psi, \qquad \psi^{*}\partial_{x}\psi = \psi_{0}^{*}\psi_{0}(\pm i k)=\pm i k|\psi_{0}|^{2},
então
j=\frac{\hbar}{m}\Im(\pm i k|\psi_{0}|^{2})=\pm\frac{\hbar k}{m}|\psi_{0}|^{2}.
Ou seja, embora a densidade não mude, a corrente de probabilidade (e portanto o sentido do fluxo de partículas) inverte de sinal quando se troca e^{i k x} por e^{-i k x}.

Resposta

(a) \psi(x)=\psi_{0} e^{-i k x}. Essa mudança inverte a direção de propagação (onda para a esquerda): o momento esperado passa de \hbar k para -\hbar k, enquanto a energia \hbar^{2}k^{2}/(2m) permanece a mesma.
(b) Não. A densidade de probabilidade é |\psi(x)|^{2}=|\psi_{0}|^{2}, constante; a fase espacial e^{\pm i k x} tem módulo 1 e não altera |\psi|^{2}|.

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