( 2,0 pontos) Uma partícula não relativística está se movendo três vezes mais rápido que um elétron. A razão entre o comprimento de onda de de Broglie da partícula e o comprimento de onda de de Broglie do elétron é 1,813.10^{-4}. Identifique a partícula, calculando sua massa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A partícula é não relativística.
    • A partícula move-se três vezes mais rápido que um elétron. Ou seja, se v_e é a velocidade do elétron e v a da partícula, então v = 3\,v_e.
    • A razão entre os comprimentos de onda de de Broglie é \dfrac{\lambda}{\lambda_e} = 1,813\times10^{-4}.
  • O enunciado pede:
    • Identificar a partícula, calculando sua massa.

Passo 2

Apresentar a fórmula de de Broglie e explicar cada símbolo.
A fórmula de de Broglie para o comprimento de onda de uma partícula é
\lambda=\dfrac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda de de Broglie;
  • h é a constante de Planck ( h\approx6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s});
  • p é o momento linear da partícula.
Para partículas não relativísticas o momento linear vale
p = m v,
onde:
  • m é a massa da partícula;
  • v é a velocidade da partícula.
Portanto, para uma partícula não relativística vale
\lambda=\dfrac{h}{m v}.

Passo 3

Usar a expressão de \lambda para escrever a razão entre os comprimentos de onda da partícula e do elétron e manipular algebricamente.
Seja \lambda o comprimento de onda da partícula desconhecida e \lambda_e o do elétron; usando \lambda=h/(m v) obtemos
\frac{\lambda}{\lambda_e}=\frac{h/(m v)}{h/(m_e v_e)}=\frac{m_e v_e}{m v}.
Substituindo v=3v_e
\frac{\lambda}{\lambda_e}=\frac{m_e v_e}{m\cdot 3 v_e}=\frac{m_e}{3m}.
Isolando a massa m da partícula:
m=\frac{m_e}{3}\cdot\frac{1}{\lambda/\lambda_e}.
Aqui:
  • m_e é a massa do elétron;
  • \lambda/\lambda_e é o valor numérico dado 1,813\times10^{-4}.

Passo 4

Substituir valores numéricos e calcular a massa.
Tomando o valor da massa do elétron como
m_e=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e \lambda/\lambda_e=1,813\times10^{-4}, temos
m=\frac{9,10938356\times10^{-31}}{3}\cdot\frac{1}{1,813\times10^{-4}}.
Calcular passo a passo:
3\cdot(1,813\times10^{-4})=5,439\times10^{-4}.
Logo
m=\frac{9,10938356\times10^{-31}}{5,439\times10^{-4}} =9,10938356\times10^{-31}\times\frac{1}{5,439\times10^{-4}}.
O fator \dfrac{1}{5,439\times10^{-4}} vale aproximadamente 1,838999\times10^{3}. Multiplicando:
m\approx 9,10938356\times10^{-31}\times1,838999\times10^{3} \approx 1,6752147\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Interpretar o resultado e identificar a partícula.
  • O valor calculado é \,m\approx1,675\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • A massa conhecida do próton é \,m_{\text{próton}}\approx1,6726219\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.ó
  • O valor obtido está muito próximo da massa do próton, então a partícula identificada é o próton.
Força e ânimo: deu trabalho mas chegamos lá — era o próton!

Resposta

m \approx 1,675\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}
Próton

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