3 Um elétron está no estado de spin
\chi=A\binom{3 i}{4} .
(a) Determine a constante de normalização A.
(b) Calcule o valor esperado de S_{x}, S_{y} e S_{z},
(c) Calcule as ‘incertezas’ \sigma_{S_{x}}, \sigma_{S_{y}} e \sigma_{S_{z}}. (Nota: esses sigmas são desvios-padrão, e não matrizes de Pauli!)
(d) Confira se seus resultados são consistentes com os três princípios da incerteza (Equação 4.100 e suas permutações cíclicas, somente com S no lugar de L , é claro).

Passo 1

O enunciado nos dá o estado de spin do elétron
\chi = A \begin{pmatrix}3i \\[4pt] 4\end{pmatrix},
e pede quatro coisas:
  • (a) determinar a constante de normalização A;
  • (b) calcular os valores esperados \langle S_x\rangle,\\ \langle S_y\rangle,\\ \langle S_z\rangle;
  • (c) calcular as incertezas (desvios-padrão) \sigma_{S_x},\\ \sigma_{S_y},\\ \sigma_{S_z};
  • (d) verificar se os resultados são consistentes com as três relações de incerteza cíclicas (a forma geral sendo \sigma_{S_i}\sigma_{S_j}\ge \tfrac{1}{2}\big|\langle [S_i,S_j]\rangle\big|).
Informações relevantes dadas explicitamente no enunciado:
  • O vetor de estado é \chi=A\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  • Trata-se de spin-1/2 (elétron), então os operadores de spin são S_i=\dfrac{\hbar}{2}\sigma_i, onde \sigma_i são as matrizes de Pauli.
  • Não foi dada normalização, portanto é necessário normalizar o vetor.]

Passo 2

Normalização do estado: explicar a fórmula e aplicar.
  • Regra: um estado normalizado satisfaz \langle\chi|\chi\rangle=1. Em componentes isso é \chi^\dagger\chi=1.
  • Aqui \chi=A\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix}. O conjugado transposto é \chi^\dagger=\overline{A}\begin{pmatrix}-3i & 4\end{pmatrix} porque \overline{3i}=-3i.
  • Calcular a norma ao quadrado:
\chi^\dagger\chi = |A|^2\big(|3i|^2+|4|^2\big)=|A|^2(9+16)=25|A|^2.
  • Impor normalização \chi^\dagger\chi=1 25|A|^2=1, logo
|A|=\frac{1}{5}.
  • Podemos escolher a fase global de A igual a +1 (fase irrelevante fisicamente), então tomamos
A=\frac{1}{5}.]

Passo 3

Preparar as fórmulas e matrizes que serão usadas (explicação didática).
  • Para spin-1/2:
S_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_i,\qquad i=x,y,z,
onde as matrizes de Pauli são
\sigma_x=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_y=\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt]i & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_z=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
  • O valor esperado de um operador O em um estado normalizado |\chi\rangle é
\langle O\rangle = \chi^\dagger O \chi.
  • Observação útil: \sigma_i^2=I (identidade 2×2), portanto
S_i^2=\frac{\hbar^2}{4}\,I,
o que torna simples calcular \langle S_i^2\rangle.
  • Agora usamos o estado normalizado explícito
\chi=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de \langle S_z\rangle (exemplo do passo-a-passo das multiplicações matriciais).
  • Primeiro calcule \langle\sigma_z\rangle=\chi^\dagger\sigma_z\chi.
  • Aplicando \sigma_z ao vetor:
\sigma_z\chi = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3i\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
  • Agora o produto escalar:
\chi^\dagger\sigma_z\chi = \frac{1}{25}\big[(-3i)(3i) + 4(-4)\big].
  • Calcular os termos: (-3i)(3i) = -9i^2 = 9, e 4(-4)=-16. Assim
\chi^\dagger\sigma_z\chi = \frac{1}{25}(9-16)= -\frac{7}{25}.
  • Finalmente
\langle S_z\rangle = \frac{\hbar}{2}\langle\sigma_z\rangle = \frac{\hbar}{2}\left(-\frac{7}{25}\right) = -\frac{7\hbar}{50}.]

Passo 5

Cálculo de \langle S_x\rangle.
  • Calcule \sigma_x\chi:
\sigma_x\chi = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\\[4pt]3i\end{pmatrix}.
  • Produto escalar:
\chi^\dagger\sigma_x\chi = \frac{1}{25}\big[(-3i)\cdot 4 + 4\cdot (3i)\big] = \frac{1}{25}(-12i+12i)=0.
  • Assim
\langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2}\cdot 0 = 0.]

Passo 6

Cálculo de \langle S_y\rangle.
  • Calcule \sigma_y\chi:
\sigma_y\chi = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt]i & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4i\\[4pt]3i^2\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4i\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Produto escalar:
\chi^\dagger\sigma_y\chi = \frac{1}{25}\big[(-3i)(-4i) + 4(-3)\big].
  • Calcular termos: (-3i)(-4i)=12i^2=-12, e 4(-3)=-12. Soma = -24. Então
\chi^\dagger\sigma_y\chi = -\frac{24}{25}.
  • Logo
\langle S_y\rangle = \frac{\hbar}{2}\left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{12\hbar}{25}.]

Passo 7

Resumo dos valores esperados obtidos (já calculados):
\langle S_x\rangle = 0,\qquad \langle S_y\rangle = -\frac{12\hbar}{25},\qquad \langle S_z\rangle = -\frac{7\hbar}{50}.

Passo 8

Cálculo das variâncias e desvios-padrão (incertezas). Fórmula e simplificação usando \sigma_i^2=I.
  • Variância de S_i:
(\sigma_{S_i})^2 = \langle S_i^2\rangle - \langle S_i\rangle^2.
  • Como S_i^2=\dfrac{\hbar^2}{4}I, temos \langle S_i^2\rangle=\dfrac{\hbar^2}{4} para qualquer i.
  • Então
(\sigma_{S_i})^2 = \frac{\hbar^2}{4} - \langle S_i\rangle^2,
e
\sigma_{S_i}=\sqrt{\frac{\hbar^2}{4} - \langle S_i\rangle^2}.

Passo 9

Aplicar para cada componente (cálculos aritméticos detalhados).
Para S_x:
  • \langle S_x\rangle=0, portanto
(\sigma_{S_x})^2 = \frac{\hbar^2}{4},\qquad \sigma_{S_x} = \frac{\hbar}{2}.
Para S_y:
  • \langle S_y\rangle = -\dfrac{12\hbar}{25}. Então
\langle S_y\rangle^2 = \frac{144\hbar^2}{625}.
  • Subtrair de \dfrac{\hbar^2}{4}=\dfrac{625\hbar^2}{2500} (colocando mesmo denominador) dá
(\sigma_{S_y})^2 = \frac{\hbar^2}{4} - \frac{144\hbar^2}{625} = \frac{625\hbar^2}{2500} - \frac{576\hbar^2}{2500} = \frac{49\hbar^2}{2500}.
  • Assim
\sigma_{S_y} = \frac{7\hbar}{50}.
Para S_z:
  • \langle S_z\rangle = -\dfrac{7\hbar}{50}. Então
\langle S_z\rangle^2 = \frac{49\hbar^2}{2500}.
  • Subtrair de \dfrac{\hbar^2}{4}=\dfrac{625\hbar^2}{2500}
(\sigma_{S_z})^2 = \frac{625\hbar^2}{2500} - \frac{49\hbar^2}{2500} = \frac{576\hbar^2}{2500}.
  • Assim
\sigma_{S_z} = \frac{24\hbar}{50} = \frac{12\hbar}{25}.

Passo 10

Verificação das desigualdades de incerteza (explicação e cálculo).
  • Relação de comutador para spins:
[S_i,S_j]=i\hbar\,\varepsilon_{ijk}S_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita. A forma da incerteza é
\sigma_{S_i}\sigma_{S_j}\ge \frac{1}{2}\big|\langle [S_i,S_j]\rangle\big| = \frac{1}{2}\hbar\,|\varepsilon_{ijk}\langle S_k\rangle|.
  • Calcular explicitamente as três desigualdades cíclicas:
(i) Para i=x,\\ j=y (o lado direito envolve \langle S_z\rangle):
\text{RHS}=\frac{1}{2}\hbar\,|\langle S_z\rangle| = \frac{1}{2}\hbar\cdot\frac{7\hbar}{50}=\frac{7\hbar^2}{100}.
\text{LHS}=\sigma_{S_x}\sigma_{S_y}=\frac{\hbar}{2}\cdot\frac{7\hbar}{50}=\frac{7\hbar^2}{100}.
Portanto, a desigualdade é satisfeita com igualdade neste caso.
(ii) Para i=y,\\ j=z (o lado direito envolve \langle S_x\rangle):
\text{RHS}=\frac{1}{2}\hbar\,|\langle S_x\rangle|=\frac{1}{2}\hbar\cdot 0 =0.
\text{LHS}=\sigma_{S_y}\sigma_{S_z}=\frac{7\hbar}{50}\cdot\frac{12\hbar}{25}=\frac{84\hbar^2}{1250}=\frac{42\hbar^2}{625}>0.
Assim a desigualdade é satisfeita (LHS > RHS).
(iii) Para i=z,\\ j=x (o lado direito envolve \langle S_y\rangle):
\text{RHS}=\frac{1}{2}\hbar\,|\langle S_y\rangle| = \frac{1}{2}\hbar\cdot\frac{12\hbar}{25}=\frac{6\hbar^2}{25}.
\text{LHS}=\sigma_{S_z}\sigma_{S_x}=\frac{12\hbar}{25}\cdot\frac{\hbar}{2}=\frac{6\hbar^2}{25}.
Novamente a desigualdade é satisfeita com igualdade.
  • Conclusão: todas as três relações de incerteza estão satisfeitas; duas delas são saturadas (igualdade) e a do par (y,z) tem RHS nulo e LHS positivo, portanto também satisfeita.

Resposta

(a) A=\dfrac{1}{5}
(b) \langle S_x\rangle=0
\langle S_y\rangle=-\dfrac{12\hbar}{25}
\langle S_z\rangle=-\dfrac{7\hbar}{50}
(c) \sigma_{S_x}=\dfrac{\hbar}{2}
\sigma_{S_y}=\dfrac{7\hbar}{50}
\sigma_{S_z}=\dfrac{12\hbar}{25}
(d) As três desigualdades de incerteza são satisfeitas. Especificamente:
\sigma_{S_x}\sigma_{S_y}=\dfrac{7\hbar^2}{100}=\dfrac{1}{2}\hbar\,|\langle S_z\rangle| (igualdade)
\sigma_{S_y}\sigma_{S_z}=\dfrac{84\hbar^2}{1250}\ge 0=\dfrac{1}{2}\hbar\,|\langle S_x\rangle| (satisfeita)
\sigma_{S_z}\sigma_{S_x}=\dfrac{6\hbar^2}{25}=\dfrac{1}{2}\hbar\,|\langle S_y\rangle| (igualdade)

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