(a) Determine a constante de normalização A.
(b) Calcule o valor esperado de S_{x}, S_{y} e S_{z},
(c) Calcule as ‘incertezas’ \sigma_{S_{x}}, \sigma_{S_{y}} e \sigma_{S_{z}}. (Nota: esses sigmas são desvios-padrão, e não matrizes de Pauli!)
(d) Confira se seus resultados são consistentes com os três princípios da incerteza (Equação 4.100 e suas permutações cíclicas, somente com S no lugar de L , é claro).
Passo 1
O enunciado nos dá o estado de spin do elétron
\chi = A \begin{pmatrix}3i \\[4pt] 4\end{pmatrix},
(c) calcular as incertezas (desvios-padrão) \sigma_{S_x},\\ \sigma_{S_y},\\ \sigma_{S_z};
(d) verificar se os resultados são consistentes com as três relações de incerteza cíclicas (a forma geral sendo \sigma_{S_i}\sigma_{S_j}\ge \tfrac{1}{2}\big|\langle [S_i,S_j]\rangle\big|).
Informações relevantes dadas explicitamente no enunciado:
O vetor de estado é \chi=A\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Trata-se de spin-1/2 (elétron), então os operadores de spin são S_i=\dfrac{\hbar}{2}\sigma_i, onde \sigma_i são as matrizes de Pauli.
Não foi dada normalização, portanto é necessário normalizar o vetor.]
Passo 2
Normalização do estado: explicar a fórmula e aplicar.
Regra: um estado normalizado satisfaz \langle\chi|\chi\rangle=1. Em componentes isso é \chi^\dagger\chi=1.
Aqui \chi=A\begin{pmatrix}3i\\[4pt]4\end{pmatrix}. O conjugado transposto é \chi^\dagger=\overline{A}\begin{pmatrix}-3i & 4\end{pmatrix} porque \overline{3i}=-3i.
Novamente a desigualdade é satisfeita com igualdade.
Conclusão: todas as três relações de incerteza estão satisfeitas; duas delas são saturadas (igualdade) e a do par (y,z) tem RHS nulo e LHS positivo, portanto também satisfeita.
(d) As três desigualdades de incerteza são satisfeitas. Especificamente: \sigma_{S_x}\sigma_{S_y}=\dfrac{7\hbar^2}{100}=\dfrac{1}{2}\hbar\,|\langle S_z\rangle| (igualdade) \sigma_{S_y}\sigma_{S_z}=\dfrac{84\hbar^2}{1250}\ge 0=\dfrac{1}{2}\hbar\,|\langle S_x\rangle| (satisfeita) \sigma_{S_z}\sigma_{S_x}=\dfrac{6\hbar^2}{25}=\dfrac{1}{2}\hbar\,|\langle S_y\rangle| (igualdade)