*Problema 2.12 Calcule
e
para o
-ésimo estado estacionário do oscilador harmônico utilizando o método do Exemplo 2.5. Confira se o princípio da incerteza é satisfeito.
Passo 1
O enunciado pede, para o estado estacionário de índice
do oscilador harmônico unidimensional, que se calcule:
-
, -
, -
, -
, -
(energia cinética média).
As informações implícitas que vamos usar (padrão do oscilador harmônico quântico):
- O Hamiltoniano é
. - Os estados estacionários
são autoestados de com energia , com . - Usaremos os operadores criação e aniquilação definidos abaixo (método do Exemplo 2.5).
Passo 2
Definição dos operadores escalas (ladder operators) e sua relação com
e
.
Apresentando os operadores criação
e aniquilação
:
Essas fórmulas podem ser invertidas para escrever
e
em termos de
e
:
Comentário rápido: os fatores foram escolhidos para que
e para que
.
Passo 3
Propriedades úteis dos operadores em estados
.
A ação dos operadores
e
sobre os estados número é:
A ortogonalidade
implica que, em particular, para qualquer
,
porque
e
são estados com número diferente de
e, portanto, ortogonais a
.
Passo 4
Cálculo de
.
Usando
e linearidade do valor esperado:
Pelo passo anterior cada um desses termos é zero, logo:
Passo 5
Cálculo de
.
Usando
:
Novamente esses termos são zero, então:
Passo 6
Preparação para
: expressar
em termos de
e
.
Compute
usando
:
Para valores esperados em
precisamos das médias de cada termo.
Passo 7
Avaliar
usando propriedades dos operadores.
Em
:
e
(esses termos mudam o número em ±2 e são ortogonais a
). Resta então os termos com
e
.
Recordando a relação de comutador
, tem-se
. Assim,
Portanto
Simplificando:
Passo 8
Preparação para
: expressar
em termos de
e
.
Usando
, obtemos
Para o valor esperado em
, termos com
e
irão a zero, restando os termos com
e
.
Passo 9
Avaliar
.
Substituindo expectativas conhecidas:
Usando
e
, obtemos
Simplificando:
Passo 10
Cálculo da energia cinética média
.
Por definição a energia cinética é
. Assim,
Portanto:
Observação: a energia potencial média
dá o mesmo valor, de modo que
, como esperado.
Passo 11
Verificação do princípio da incerteza
.
Calcular
e
. Como
,
Logo o produto é
Isto é,
Para
obtemos o valor mínimo
, portanto o princípio da incerteza é satisfeito (igualdade apenas no estado fundamental
).