*Problema 2.12 Calcule \langle x\rangle,\langle p\rangle,\left\langle x^{2}\right\rangle,\left\langle p^{2}\right\rangle e \langle T\rangle para o n-ésimo estado estacionário do oscilador harmônico utilizando o método do Exemplo 2.5. Confira se o princípio da incerteza é satisfeito.

Passo 1

O enunciado pede, para o estado estacionário de índice n do oscilador harmônico unidimensional, que se calcule:
  • \langle x\rangle,
  • \langle p\rangle,
  • \left\langle x^{2}\right\rangle,
  • \left\langle p^{2}\right\rangle,
  • \langle T\rangle (energia cinética média).
As informações implícitas que vamos usar (padrão do oscilador harmônico quântico):
  • O Hamiltoniano é \displaystyle H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
  • Os estados estacionários \lvert n\rangle são autoestados de H com energia \displaystyle E_{n}=\hbar\omega\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big), com n=0,1,2,\dots.
  • Usaremos os operadores criação e aniquilação definidos abaixo (método do Exemplo 2.5).

Passo 2

Definição dos operadores escalas (ladder operators) e sua relação com x e p.
Apresentando os operadores criação a^\dagger e aniquilação a:
a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,x+\mathrm{i}\,\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\,p, \qquad a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,x-\mathrm{i}\,\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\,p.
Essas fórmulas podem ser invertidas para escrever x e p em termos de a e a^\dagger:
x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,(a+a^\dagger), \qquad p=\mathrm{i}\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\,(a^\dagger-a).
Comentário rápido: os fatores foram escolhidos para que [a,a^\dagger]=1 e para que H=\hbar\omega\big(a^\dagger a+\tfrac{1}{2}\big).

Passo 3

Propriedades úteis dos operadores em estados \lvert n\rangle.
A ação dos operadores a e a^\dagger sobre os estados número é:
a\lvert n\rangle=\sqrt{n}\,\lvert n-1\rangle, \qquad a^\dagger\lvert n\rangle=\sqrt{n+1}\,\lvert n+1\rangle.
A ortogonalidade \langle m\vert n\rangle=\delta_{mn} implica que, em particular, para qualquer n,
\langle n\vert a\vert n\rangle=0, \qquad \langle n\vert a^\dagger\vert n\rangle=0,
porque a\lvert n\rangle e a^\dagger\lvert n\rangle são estados com número diferente de n e, portanto, ortogonais a \lvert n\rangle.

Passo 4

Cálculo de \langle x\rangle.
Usando x=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\,(a+a^\dagger) e linearidade do valor esperado:
\langle x\rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\;\langle n\vert a+a^\dagger\vert n\rangle =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\;\big(\langle n\vert a\vert n\rangle+\langle n\vert a^\dagger\vert n\rangle\big).
Pelo passo anterior cada um desses termos é zero, logo:
\boxed{\langle x\rangle=0.}

Passo 5

Cálculo de \langle p\rangle.
Usando p=\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}}\,(a^\dagger-a):
\langle p\rangle=\mathrm{i}\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\;\langle n\vert a^\dagger-a\vert n\rangle =\mathrm{i}\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\;\big(\langle n\vert a^\dagger\vert n\rangle-\langle n\vert a\vert n\rangle\big).
Novamente esses termos são zero, então:
\boxed{\langle p\rangle=0.}

Passo 6

Preparação para \left\langle x^{2}\right\rangle: expressar x^{2} em termos de a e a^\dagger.
Compute x^{2} usando x=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\,(a+a^\dagger):
x^{2}=\frac{\hbar}{2m\omega}\,(a+a^\dagger)^{2} =\frac{\hbar}{2m\omega}\,\big(a^{2}+a a^\dagger+a^\dagger a+(a^\dagger)^{2}\big).
Para valores esperados em \lvert n\rangle precisamos das médias de cada termo.

Passo 7

Avaliar \left\langle x^{2}\right\rangle usando propriedades dos operadores.
Em \lvert n\rangle: \langle n\vert a^{2}\vert n\rangle=0 e \langle n\vert (a^\dagger)^{2}\vert n\rangle=0 (esses termos mudam o número em ±2 e são ortogonais a \lvert n\rangle). Resta então os termos com a a^\dagger e a^\dagger a.
Recordando a relação de comutador [a,a^\dagger]=1, tem-se a a^\dagger = a^\dagger a + 1. Assim,
\langle n\vert a a^\dagger\vert n\rangle=\langle n\vert a^\dagger a\vert n\rangle+1=n+1, \qquad \langle n\vert a^\dagger a\vert n\rangle=n.
Portanto
\left\langle x^{2}\right\rangle=\frac{\hbar}{2m\omega}\,\big(0+(n+1)+n+0\big) =\frac{\hbar}{2m\omega}\,(2n+1).
Simplificando:
\boxed{\left\langle x^{2}\right\rangle=\frac{\hbar}{m\omega}\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big).}

Passo 8

Preparação para \left\langle p^{2}\right\rangle: expressar p^{2} em termos de a e a^\dagger.
Usando p=\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}}\,(a^\dagger-a), obtemos
p^{2}=-\frac{\hbar m\omega}{2}\,(a^\dagger-a)^{2} =-\frac{\hbar m\omega}{2}\,\big((a^\dagger)^{2}-a^\dagger a - a a^\dagger +a^{2}\big).
Para o valor esperado em \lvert n\rangle, termos com a^{2} e (a^\dagger)^{2} irão a zero, restando os termos com a^\dagger a e a a^\dagger.

Passo 9

Avaliar \left\langle p^{2}\right\rangle.
Substituindo expectativas conhecidas:
\langle n\vert -\frac{\hbar m\omega}{2}\big(-a^\dagger a - a a^\dagger\big)\vert n\rangle =\frac{\hbar m\omega}{2}\,\big(\langle n\vert a^\dagger a\vert n\rangle+\langle n\vert a a^\dagger\vert n\rangle\big).
Usando \langle a^\dagger a\rangle=n e \langle a a^\dagger\rangle=n+1, obtemos
\left\langle p^{2}\right\rangle=\frac{\hbar m\omega}{2}\,(n+n+1) =\frac{\hbar m\omega}{2}\,(2n+1).
Simplificando:
\boxed{\left\langle p^{2}\right\rangle=\hbar m\omega\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big).}

Passo 10

Cálculo da energia cinética média \langle T\rangle.
Por definição a energia cinética é T=\dfrac{p^{2}}{2m}. Assim,
\langle T\rangle=\frac{1}{2m}\left\langle p^{2}\right\rangle =\frac{1}{2m}\,\hbar m\omega\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big) =\frac{\hbar\omega}{2}\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big).
Portanto:
\boxed{\langle T\rangle=\frac{\hbar\omega}{2}\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big).}
Observação: a energia potencial média \langle V\rangle=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}\langle x^{2}\rangle dá o mesmo valor, de modo que \langle H\rangle=\langle T\rangle+\langle V\rangle=\hbar\omega\big(n+\tfrac{1}{2}\big), como esperado.

Passo 11

Verificação do princípio da incerteza \Delta x\,\Delta p\ge \dfrac{\hbar}{2}.
Calcular \Delta x e \Delta p. Como \langle x\rangle=\langle p\rangle=0,
(\Delta x)^{2}=\langle x^{2}\rangle=\frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1), \qquad (\Delta p)^{2}=\langle p^{2}\rangle=\frac{\hbar m\omega}{2}(2n+1).
Logo o produto é
\Delta x\,\Delta p=\sqrt{\langle x^{2}\rangle}\sqrt{\langle p^{2}\rangle} =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1)}\;\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}(2n+1)} =\frac{\hbar}{2}(2n+1).
Isto é,
\boxed{\Delta x\,\Delta p=\hbar\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big)\ge\frac{\hbar}{2}.}
Para n=0 obtemos o valor mínimo \Delta x\,\Delta p=\dfrac{\hbar}{2}, portanto o princípio da incerteza é satisfeito (igualdade apenas no estado fundamental n=0).

Resposta

\langle x\rangle=0
\langle p\rangle=0
\displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle=\frac{\hbar}{m\omega}\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big)
\displaystyle \left\langle p^{2}\right\rangle=\hbar m\omega\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big)
\displaystyle \langle T\rangle=\frac{\hbar\omega}{2}\Big(n+\tfrac{1}{2}\Big)

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