Um elétron foi emitido de um cátodo com velocidade zero. O cátodo está num potencial -1000 V . Calcule a velocidade que o elétron adquire quando chega no ânodo que está num potencial zero e distante 1 cm do catodo… Na discussão dos movimentos dos elétrons do tubo de Raios catódicos, desprezamos a força gravitacional. Discuta qual é a importância da força gravitacional nesta experiêneia. Dica. Compare a dimensão das forças envolvidas
\mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11 \times 10^{-34} \mathrm{~kg} ; \mathrm{Q}_{\mathrm{e}}=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a velocidade que o elétron adquire ao chegar no ânodo (potencial 0 V), tendo sido emitido do cátodo (potencial -1000 V) com velocidade inicial zero.
  • Discutir a importância da força gravitacional na experiência (comparar ordens de magnitude das forças).
Informações fornecidas no enunciado:
  • Potencial do cátodo: -1000\\ \mathrm{V}.
  • Potencial do ânodo: 0\\ \mathrm{V}.
  • Distância entre cátodo e ânodo: 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial do elétron: v_0=0.
  • Carga do elétron fornecida: \;Q_{\mathrm{e}}=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Observação sobre a massa do elétron: o enunciado traz \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11\times10^{-34}\\ \mathrm{kg}, que parece ser um erro tipográfico. O valor físico correto e usualmente adotado é \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. Vou usar \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} (caso tivesse que usar o valor com 10^{-34} daria uma velocidade não física maior que c).

Passo 2

Princípio físico que vou usar (explicação didática):
  • Quando uma partícula com carga q atravessa uma diferença de potencial \Delta V, a energia elétrica ganha/lost pela partícula é q\Delta V. Essa energia elétrica é transformada em energia cinética (desprezando dissipações).
  • Para um elétron que parte do repouso, a conservação de energia dá:
q\Delta V=\tfrac{1}{2}m v^2.
Explicando cada símbolo:
  • q é a carga da partícula (para o elétron q=Q_{\mathrm{e}}=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}; note que é positivo no módulo da carga, ao usar energia escalar usa-se o módulo).
  • \Delta V é a diferença de potencial que a partícula atravessa. Aqui o elétron vai de -1000\\ \mathrm{V} para 0\\ \mathrm{V}, então \Delta V=0-(-1000)=1000\\ \mathrm{V}.
  • m é a massa do elétron ( \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}).
  • v é a velocidade final que queremos achar.
  • \tfrac{1}{2}m v^2 é a energia cinética clássica (válida enquanto não tivermos que incluir efeitos relativísticos). Para checar se o tratamento clássico é aceitável, compararemos a energia adquirida com a energia de repouso do elétron ( m c^2\approx511\\ \mathrm{keV}). A energia elétrica fornecida é q\Delta V=1000\\ \mathrm{eV}=1\\ \mathrm{keV}, muito menor que 511\\ \mathrm{keV}, logo a aproximação não-relativística é adequada.

Passo 3

Isolando v da equação de energia:
v=\sqrt{\dfrac{2 q \Delta V}{m}}.
Agora substituo os valores numéricos (sempre em notação científica, com vírgula decimal conforme solicitado):
2 q \Delta V = 2\cdot(1,6\times10^{-19})\cdot(1000)=3,2\times10^{-16}\\ \mathrm{J}.
\frac{2 q \Delta V}{m}=\frac{3,2\times10^{-16}}{9,11\times10^{-31}}=3,51\times10^{14}\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Tomando a raiz quadrada:
v=\sqrt{3,51\times10^{14}}=5,93\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação prática: v\approx5,93\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}, que é cerca de 0,198\,c (tomando c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}), ou seja aproximadamente 20\% da velocidade da luz. Como a energia adquirida é \,1\\ \mathrm{keV}\ll511\\ \mathrm{keV}\,, o tratamento clássico usadono cálculo está bem justificado (erros relativísticos são pequenos).

Passo 4

Comparação das forças (explicação didática e cálculo passo a passo):
  • Primeiro, campo elétrico entre placas (aproximando por campo uniforme):
E=\dfrac{\Delta V}{d}=\dfrac{1000}{0,01}=1,0\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
  • Força elétrica sobre o elétron (módulo):
F_{\mathrm{e}}=qE=(1,6\times10^{-19})\cdot(1,0\times10^{5})=1,6\times10^{-14}\\ \mathrm{N}.
  • Força gravitacional sobre o elétron (módulo):
F_{\mathrm{g}}=m g=(9,11\times10^{-31})\cdot(9,8)=8,93\times10^{-30}\\ \mathrm{N}.
  • Razão entre forças:
\frac{F_{\mathrm{e}}}{F_{\mathrm{g}}}=\frac{1,6\times10^{-14}}{8,93\times10^{-30}}\approx1,79\times10^{15}.
Interpretação: a força elétrica é cerca de 10^{15} vezes maior que a força gravitacional sobre o elétron — a gravidade é completamente desprezível na dinâmica do elétron neste aparelho. Outra forma de ver: a aceleração elétrica média seria
a_{\mathrm{e}}=\frac{F_{\mathrm{e}}}{m}=\frac{1,6\times10^{-14}}{9,11\times10^{-31}}=1,76\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^2},
enquanto a aceleração gravitacional é g\approx9,8\\ \mathrm{m/s^2}; a contribuição de g é irrelevante diante dessa aceleração elétrica gigantesca.

Passo 5

Resumo didático final e incentivo:
  • Fizemos a conversão direta da energia elétrica fornecida pela diferença de potencial em energia cinética; isso é a forma mais direta de encontrar a velocidade em aparelhos como o tubo de raios catódicos.
  • Para checar hipóteses (se a aproximação clássica é válida) comparamos a energia ganhos ( 1\\ \mathrm{keV}) com a energia de repouso do elétron ( 511\\ \mathrm{keV}); como é muito menor, o cálculo clássico é aceitável.
  • Para a gravidade fizemos uma comparação clara de ordens de magnitude: a força elétrica domina por cerca de 10^{15}, então podemos desprezá-la com segurança em análises do movimento dos elétrons no tubo.

Resposta

v=5,93\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}
A força gravitacional é desprezível: F_{\mathrm{e}}\approx1,6\times10^{-14}\\ \mathrm{N} e F_{\mathrm{g}}\approx8,93\times10^{-30}\\ \mathrm{N}, razão \dfrac{F_{\mathrm{e}}}{F_{\mathrm{g}}}\approx1,79\times10^{15}.

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