Um elétron foi emitido de um cátodo com velocidade zero. O cátodo está num potencial -1000 V . Calcule a velocidade que o elétron adquire quando chega no ânodo que está num potencial zero e distante 1 cm do catodo… Na discussão dos movimentos dos elétrons do tubo de Raios catódicos, desprezamos a força gravitacional. Discuta qual é a importância da força gravitacional nesta experiêneia. Dica. Compare a dimensão das forças envolvidas
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a velocidade que o elétron adquire ao chegar no ânodo (potencial
V), tendo sido emitido do cátodo (potencial V) com velocidade inicial zero. - Discutir a importância da força gravitacional na experiência (comparar ordens de magnitude das forças).
Informações fornecidas no enunciado:
- Potencial do cátodo:
. - Potencial do ânodo:
. - Distância entre cátodo e ânodo:
. - Velocidade inicial do elétron:
. - Carga do elétron fornecida:
Observação sobre a massa do elétron: o enunciado traz
, que parece ser um erro tipográfico. O valor físico correto e usualmente adotado é
. Vou usar
(caso tivesse que usar o valor com
daria uma velocidade não física maior que
).
Passo 2
Princípio físico que vou usar (explicação didática):
- Quando uma partícula com carga
atravessa uma diferença de potencial , a energia elétrica ganha/lost pela partícula é . Essa energia elétrica é transformada em energia cinética (desprezando dissipações). - Para um elétron que parte do repouso, a conservação de energia dá:
Explicando cada símbolo:
-
é a carga da partícula (para o elétron ; note que é positivo no módulo da carga, ao usar energia escalar usa-se o módulo). -
é a diferença de potencial que a partícula atravessa. Aqui o elétron vai de para , então . -
é a massa do elétron ( ). -
é a velocidade final que queremos achar. -
é a energia cinética clássica (válida enquanto não tivermos que incluir efeitos relativísticos). Para checar se o tratamento clássico é aceitável, compararemos a energia adquirida com a energia de repouso do elétron ( ). A energia elétrica fornecida é , muito menor que , logo a aproximação não-relativística é adequada.
Passo 3
Isolando
da equação de energia:
Agora substituo os valores numéricos (sempre em notação científica, com vírgula decimal conforme solicitado):
Tomando a raiz quadrada:
Interpretação prática:
, que é cerca de
(tomando
), ou seja aproximadamente
da velocidade da luz. Como a energia adquirida é
, o tratamento clássico usadono cálculo está bem justificado (erros relativísticos são pequenos).
Passo 4
Comparação das forças (explicação didática e cálculo passo a passo):
- Primeiro, campo elétrico entre placas (aproximando por campo uniforme):
- Força elétrica sobre o elétron (módulo):
- Força gravitacional sobre o elétron (módulo):
- Razão entre forças:
Interpretação: a força elétrica é cerca de
vezes maior que a força gravitacional sobre o elétron — a gravidade é completamente desprezível na dinâmica do elétron neste aparelho. Outra forma de ver: a aceleração elétrica média seria
enquanto a aceleração gravitacional é
; a contribuição de
é irrelevante diante dessa aceleração elétrica gigantesca.
Passo 5
Resumo didático final e incentivo:
- Fizemos a conversão direta da energia elétrica fornecida pela diferença de potencial em energia cinética; isso é a forma mais direta de encontrar a velocidade em aparelhos como o tubo de raios catódicos.
- Para checar hipóteses (se a aproximação clássica é válida) comparamos a energia ganhos (
) com a energia de repouso do elétron ( ); como é muito menor, o cálculo clássico é aceitável. - Para a gravidade fizemos uma comparação clara de ordens de magnitude: a força elétrica domina por cerca de
, então podemos desprezá-la com segurança em análises do movimento dos elétrons no tubo.
Resposta
A força gravitacional é desprezível: