Hexágono regular A B C D E F, \vec{s}=\overrightarrow{A B}.
a) Expresse todas as diagonais curtas e longas como somas/diferenças de \vec{s} e rotações.
b) Mostre que a soma de três diagonais longas que se cruzam no centro é nula.
c) Represente \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A C}.
d) Use a regra do paralelograma para expressar um vetor de vértice não adjacente.

Passo 1

O enunciado dá um hexágono regular com vértices A,B,C,D,E,F na ordem e define \vec{s}=\overrightarrow{AB}. As perguntas são:
(a) Expressar todas as diagonais curtas e longas como somas/ diferenças de \vec{s} e rotações.
(b) Mostrar que a soma de três diagonais longas que se cruzam no centro é nula.
(c) Representar \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.
(d) Usar a regra do paralelogramo para expressar um vetor entre vértices não adjacentes.
Informações relevantes dadas (explícitas no enunciado ou óbvias do hexágono regular):
  • Os lados consecutivos são todos iguais e com direções obtidas por rotações de 60^\circ.
  • Podemos usar um operador de rotação que rotacione vetores 60^\circ no sentido anti-horário (ou no sentido que escolhermos consistentemente).

Passo 2

Vou definir um operador de rotação muito útil para fazer todas as expressões de forma compacta e sistemática.
Definição: seja R o operador linear que representa a rotação de 60^\circ no sentido anti-horário em torno do centro do hexágono. Por construção temos
R(\vec{s})=\overrightarrow{BC},\qquad R^2(\vec{s})=\overrightarrow{CD},\qquad R^3(\vec{s})=\overrightarrow{DE},\qquad R^4(\vec{s})=\overrightarrow{EF},\qquad R^5(\vec{s})=\overrightarrow{FA}.
Propriedades do operador R (que vou usar e explicar):
  • R é linear: R(\vec{u}+\vec{v})=R(\vec{u})+R(\vec{v}) e R(c\vec{u})=cR(\vec{u}).
  • R^6 é a identidade porque 6\cdot60^\circ=360^\circ: R^6=\mathrm{Id}.
  • R^3 é a rotação de 180^\circ, logo R^3(\vec{v})=-\vec{v} para qualquer \vec{v}.
Esta notação permite escrever qualquer aresta ou combinação de arestas de forma compacta usando \vec{s} e potências de R.

Passo 3

(a) Diagonais curtas (são as que ligam vértices com um vértice entre eles, ex.: A a C).
Uma diagonal curta liga dois vértices que estão separados por duas arestas. Isso significa que ela é soma de duas arestas consecutivas. Usando \vec{s} e R temos:
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{s}+R(\vec{s}).
Aplicando a rotação R sucessivas vezes obtemos as demais (rotacionando a expressão acima):
\overrightarrow{BD}=R(\vec{s})+R^2(\vec{s}),
\overrightarrow{CE}=R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s}),
\overrightarrow{DF}=R^3(\vec{s})+R^4(\vec{s}),
\overrightarrow{EA}=R^4(\vec{s})+R^5(\vec{s}),
\overrightarrow{FB}=R^5(\vec{s})+\vec{s}.
Cada uma dessas expressões é simplesmente soma de duas arestas consecutivas; geometricamente é a aplicação da regra do paralelogramo (somar vetores das arestas).

Passo 4

(a) Diagonais longas (são as que ligam vértices opostos: A a D, B a E, C a F). Cada diagonal longa atravessa três arestas, então é soma de três arestas consecutivas:
\overrightarrow{AD}=\vec{s}+R(\vec{s})+R^2(\vec{s}),
\overrightarrow{BE}=R(\vec{s})+R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s}),
\overrightarrow{CF}=R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s})+R^4(\vec{s}).
Observação útil (que vem de R^3=-\mathrm{Id}): também valem formas alternativas usando simetrias, por exemplo \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD} e assim por diante.

Passo 5

(b) Interpretação e demonstração cuidadosa do enunciado. O enunciado fala em “três diagonais longas que se cruzam no centro”. As diagonais longas são as três diagonais opostas AD,BE,CF e todas passam pelo centro O. Se escolhermos em cada diagonal o vetor que parte do centro em direção a um dos seus extremos (ou seja, as semidiagonais \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OE} — uma extremidade de cada diagonal), essas três semidiagonais têm direções separadas por 120^\circ. Vou provar que a soma dessas três semidiagonais é nula.
Seja \vec{u}=\overrightarrow{OA}. Então as outras duas semidiagonais (tomando uma extremidade de cada diagonal longa de maneira que fiquem igualmente espaçadas) são R^2(\vec{u}) e R^4(\vec{u}) porque R^2 é rotação de 120^\circ. Agora observe a identidade geométrica (familiar para vetores com ângulos separados por 120^\circ):
\vec{u}+R^2(\vec{u})+R^4(\vec{u})=\vec{0}.
Justificativa intuitiva: esses três vetores têm mesma magnitude e direções igualmente espaçadas de 120^\circ; representam os vértices de um triângulo equilátero centrado em O, então se somados como vetores cancelam-se mutuamente. Uma forma algébrica é usar as propriedades de rotação (equivalente a usar as raízes da unidade complexas): 1+\omega+\omega^2=0 para \omega=e^{i2\pi/3}.
Portanto, escolhendo as três semidiagonais convenientes que saem do centro (uma extremidade de cada diagonal longa), a soma é nula. (Isso é a maneira correta de interpretar a frase “soma de três diagonais longas que se cruzam no centro” quando se fala em soma vetorial.)

Passo 6

(c) Calcular \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.
Usando as expressões já obtidas:
\overrightarrow{AD}=\vec{s}+R(\vec{s})+R^2(\vec{s}), \qquad \overrightarrow{AC}=\vec{s}+R(\vec{s}).
Subtraindo,
\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\bigl(\vec{s}+R(\vec{s})+R^2(\vec{s})\bigr)-\bigl(\vec{s}+R(\vec{s})\bigr)=R^2(\vec{s}).
Geometricamente R^2(\vec{s})=\overrightarrow{CD}. Logo
\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}.

Passo 7

(d) Uso da regra do paralelogramo para expressar um vetor entre vértices não adjacentes (procedimento e exemplo).
Regra: o vetor entre dois vértices é soma dos vetores das arestas que formam um caminho entre eles. Em hexágono regular, isto traduz-se em somas de potências de R aplicadas a \vec{s}. Exemplos práticos:
  • Para a diagonal curta \overrightarrow{AC} já vimos:
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{s}+R(\vec{s}).
Isto é exatamente a aplicação do paralelogramo: colocar \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} como lados e a diagonal \overrightarrow{AC} é a soma.
  • Para uma diagonal mais “longa” entre vértices não adjacentes, por exemplo \overrightarrow{AE}, pode-se decompor como soma de arestas:
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE} = \vec{s}+R(\vec{s})+R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s}).
Ou usar decomposições em duas somas mais curtas aplicando o paralelogramo duas vezes, por exemplo
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=(\vec{s}+R(\vec{s}))+(R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s})).
Em resumo: para qualquer par de vértices, escolha um caminho ao longo das arestas entre eles e some as arestas correspondentes; em nossa notação isso dá soma de \vec{s},R(\vec{s}),\ldots. A regra do paralelogramo garante geometricamente que essa soma é o vetor procurado.

Resposta

(a) Diagonais curtas:
\overrightarrow{AC}=\vec{s}+R(\vec{s}),
\overrightarrow{BD}=R(\vec{s})+R^2(\vec{s}),
\overrightarrow{CE}=R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s}),
\overrightarrow{DF}=R^3(\vec{s})+R^4(\vec{s}),
\overrightarrow{EA}=R^4(\vec{s})+R^5(\vec{s}),
\overrightarrow{FB}=R^5(\vec{s})+\vec{s}.
(a) Diagonais longas:
\overrightarrow{AD}=\vec{s}+R(\vec{s})+R^2(\vec{s}),
\overrightarrow{BE}=R(\vec{s})+R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s}),
\overrightarrow{CF}=R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s})+R^4(\vec{s}).
(b) Sejam as semidiagonais saindo do centro \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OE}. Então
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}=\vec{0}.
(c) \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=R^2(\vec{s})=\overrightarrow{CD}.
(d) Regra do paralelogramo / soma ao longo das arestas: por exemplo
\overrightarrow{AC}=\vec{s}+R(\vec{s}) e
\overrightarrow{AE}=\vec{s}+R(\vec{s})+R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s})
(qualquer vetor entre vértices não adjacentes é soma das arestas ao longo de um caminho entre eles, escrita em \vec{s} e potências de R).

Exercícios relacionados