Hexágono regular A B C D E F, \vec{s}=\overrightarrow{A B}.
a) Expresse todas as diagonais curtas e longas como somas/diferenças de \vec{s} e rotações.
b) Mostre que a soma de três diagonais longas que se cruzam no centro é nula.
c) Represente \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A C}.
d) Use a regra do paralelograma para expressar um vetor de vértice não adjacente.
Passo 1
O enunciado dá um hexágono regular com vértices A,B,C,D,E,F na ordem e define \vec{s}=\overrightarrow{AB}. As perguntas são:
(a) Expressar todas as diagonais curtas e longas como somas/ diferenças de \vec{s} e rotações.
(b) Mostrar que a soma de três diagonais longas que se cruzam no centro é nula.
(c) Representar \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.
(d) Usar a regra do paralelogramo para expressar um vetor entre vértices não adjacentes.
Informações relevantes dadas (explícitas no enunciado ou óbvias do hexágono regular):
Os lados consecutivos são todos iguais e com direções obtidas por rotações de 60^\circ.
Podemos usar um operador de rotação que rotacione vetores 60^\circ no sentido anti-horário (ou no sentido que escolhermos consistentemente).
Passo 2
Vou definir um operador de rotação muito útil para fazer todas as expressões de forma compacta e sistemática.
Definição: seja R o operador linear que representa a rotação de 60^\circ no sentido anti-horário em torno do centro do hexágono. Por construção temos
Propriedades do operador R (que vou usar e explicar):
R é linear: R(\vec{u}+\vec{v})=R(\vec{u})+R(\vec{v}) e R(c\vec{u})=cR(\vec{u}).
R^6 é a identidade porque 6\cdot60^\circ=360^\circ: R^6=\mathrm{Id}.
R^3 é a rotação de 180^\circ, logo R^3(\vec{v})=-\vec{v} para qualquer \vec{v}.
Esta notação permite escrever qualquer aresta ou combinação de arestas de forma compacta usando \vec{s} e potências de R.
Passo 3
(a) Diagonais curtas (são as que ligam vértices com um vértice entre eles, ex.: A a C).
Uma diagonal curta liga dois vértices que estão separados por duas arestas. Isso significa que ela é soma de duas arestas consecutivas. Usando \vec{s} e R temos:
Aplicando a rotação R sucessivas vezes obtemos as demais (rotacionando a expressão acima):
\overrightarrow{BD}=R(\vec{s})+R^2(\vec{s}),
\overrightarrow{CE}=R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s}),
\overrightarrow{DF}=R^3(\vec{s})+R^4(\vec{s}),
\overrightarrow{EA}=R^4(\vec{s})+R^5(\vec{s}),
\overrightarrow{FB}=R^5(\vec{s})+\vec{s}.
Cada uma dessas expressões é simplesmente soma de duas arestas consecutivas; geometricamente é a aplicação da regra do paralelogramo (somar vetores das arestas).
Passo 4
(a) Diagonais longas (são as que ligam vértices opostos: A a D, B a E, C a F). Cada diagonal longa atravessa três arestas, então é soma de três arestas consecutivas:
Observação útil (que vem de R^3=-\mathrm{Id}): também valem formas alternativas usando simetrias, por exemplo \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD} e assim por diante.
Passo 5
(b) Interpretação e demonstração cuidadosa do enunciado. O enunciado fala em “três diagonais longas que se cruzam no centro”. As diagonais longas são as três diagonais opostas AD,BE,CF e todas passam pelo centro O. Se escolhermos em cada diagonal o vetor que parte do centro em direção a um dos seus extremos (ou seja, as semidiagonais \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OE} — uma extremidade de cada diagonal), essas três semidiagonais têm direções separadas por 120^\circ. Vou provar que a soma dessas três semidiagonais é nula.
Seja \vec{u}=\overrightarrow{OA}. Então as outras duas semidiagonais (tomando uma extremidade de cada diagonal longa de maneira que fiquem igualmente espaçadas) são R^2(\vec{u}) e R^4(\vec{u}) porque R^2 é rotação de 120^\circ. Agora observe a identidade geométrica (familiar para vetores com ângulos separados por 120^\circ):
\vec{u}+R^2(\vec{u})+R^4(\vec{u})=\vec{0}.
Justificativa intuitiva: esses três vetores têm mesma magnitude e direções igualmente espaçadas de 120^\circ; representam os vértices de um triângulo equilátero centrado em O, então se somados como vetores cancelam-se mutuamente. Uma forma algébrica é usar as propriedades de rotação (equivalente a usar as raízes da unidade complexas): 1+\omega+\omega^2=0 para \omega=e^{i2\pi/3}.
Portanto, escolhendo as três semidiagonais convenientes que saem do centro (uma extremidade de cada diagonal longa), a soma é nula. (Isso é a maneira correta de interpretar a frase “soma de três diagonais longas que se cruzam no centro” quando se fala em soma vetorial.)
(d) Uso da regra do paralelogramo para expressar um vetor entre vértices não adjacentes (procedimento e exemplo).
Regra: o vetor entre dois vértices é soma dos vetores das arestas que formam um caminho entre eles. Em hexágono regular, isto traduz-se em somas de potências de R aplicadas a \vec{s}. Exemplos práticos:
Para a diagonal curta \overrightarrow{AC} já vimos:
Isto é exatamente a aplicação do paralelogramo: colocar \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} como lados e a diagonal \overrightarrow{AC} é a soma.
Para uma diagonal mais “longa” entre vértices não adjacentes, por exemplo \overrightarrow{AE}, pode-se decompor como soma de arestas:
Em resumo: para qualquer par de vértices, escolha um caminho ao longo das arestas entre eles e some as arestas correspondentes; em nossa notação isso dá soma de \vec{s},R(\vec{s}),\ldots. A regra do paralelogramo garante geometricamente que essa soma é o vetor procurado.
(b) Sejam as semidiagonais saindo do centro \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OE}. Então \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}=\vec{0}.
(d) Regra do paralelogramo / soma ao longo das arestas: por exemplo \overrightarrow{AC}=\vec{s}+R(\vec{s}) e \overrightarrow{AE}=\vec{s}+R(\vec{s})+R^2(\vec{s})+R^3(\vec{s})
(qualquer vetor entre vértices não adjacentes é soma das arestas ao longo de um caminho entre eles, escrita em \vec{s} e potências de R).