Um elétron livre se move com uma velocidade igual a 1,0 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Este elétron é capturado por um núcleo de hidrogênio \left(\mathrm{H}^{+}\right)passando a ocupar o nível energético do orbital 1s. Calcule a energia liberada durante o processo.
E o comprimento de onda em picômetros do fóton de luz liberado.

Passo 1

O enunciado nos dá um elétron livre com velocidade \displaystyle v = 1{,}0\times10^{6}\,\mathrm{m\,s^{-1}} capturado por um núcleo de hidrogênio \mathrm{H}^{+}, passando a ocupar o orbital 1s (nível fundamental). Precisamos calcular:
1. A energia total liberada no processo (diferença entre a energia inicial do elétron e sua energia final ligada ao átomo).
2. O comprimento de onda do fóton emitido, usando a relação \lambda = \frac{h\,c}{E_{\rm fóton}}ó.
Para isso usaremos a energia cinética clássica
\displaystyle K=\tfrac12 m_ev^2
e o modelo de Bohr, que dá para o nível n=1 do hidrogênio a energia de ligação \displaystyle E_{1}=-13{,}6\,\mathrm{eV}.

Passo 2

Calculamos primeiro a energia cinética do elétron em joules e depois em elétron-volts.
K \;=\;\tfrac12\,m_e\,v^2
Substituindo \displaystyle m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e \displaystyle v=1{,}0\times10^{6}\,\mathrm{m\,s^{-1}}:
K = \tfrac12\,(9{,}11\times10^{-31})\,(1{,}0\times10^{6})^2 =4{,}555\times10^{-19}\,\mathrm{J}.
Convertendo para elétron-volts ( 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}):
K = \frac{4{,}555\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\approx2{,}84\,\mathrm{eV}.

Passo 3

No modelo de Bohr, a energia final do elétron ligado ao nível n=1 é
E_{1}=-13{,}6\,\mathrm{eV}.
A energia liberada \Delta E é a energia inicial (cinética + potencial zero no infinito) menos a energia final:
\Delta E = K - E_{1} = 2{,}84\,\mathrm{eV} - (-13{,}6\,\mathrm{eV}) =16{,}44\,\mathrm{eV}.
Convertendo para joules:
\Delta E = 16{,}44\times1{,}602\times10^{-19} \approx2{,}64\times10^{-18}\,\mathrm{J}.

Passo 4

O fóton emitido terá energia E_{\rm fóton}=\Delta Eó. Usamos
\lambda = \frac{h\,c}{E_{\rm fóton}},ó
com \displaystyle h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} e \displaystyle c=3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}:
\lambda =\frac{6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}} {2{,}64\times10^{-18}} \approx7{,}54\times10^{-8}\,\mathrm{m} =7{,}54\times10^{4}\,\mathrm{pm}.

Resposta

Energia liberada:
\Delta E\approx2{,}64\times10^{-18}\,\mathrm{J} \quad(\approx16{,}4\,\mathrm{eV}).
Comprimento de onda do fóton emitido:
\lambda\approx7{,}54\times10^{4}\,\mathrm{pm}.

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