Um elétron livre e um próton livre têm o mesmo momento. Isto significa que, comparada à onda de matéria associada com o próton, a onda de matéria associada com o elétron tem:
a) comprimento de onda menor e uma frequência maior.
b) comprimento de onda maior e uma frequência maior.
c) mesmo comprimento de onda e a mesma frequência.
d) mesmo comprimento de onda e frequência maior.
e) comprimento de onda menor e uma frequência menor.

Passo 1

O enunciado diz que um elétron livre e um próton livre têm o mesmo momento linear p. Pede-se comparar as ondas de matéria de cada partícula em termos de comprimento de onda e de frequência. Para isso vamos usar as relações de de Broglie:
\lambda = \frac{h}{p}
e, em mecânica quântica não relativística, a frequência associada ao estado livre de energia cinética K é
f = \frac{K}{h} \quad\text{com}\quad K = \frac{p^2}{2m}.

Passo 2

Como as duas partículas têm o mesmo p, o comprimento de onda de de Broglie é
\lambda_{\rm elétron} \;=\;\frac{h}{p} \;=\;\lambda_{\rm próton}\,.éó
Logo, as duas ondas têm o mesmo comprimento de onda.

Passo 3

A frequência quântica é dada por
f \;=\;\frac{K}{h} \;=\;\frac{1}{h}\,\frac{p^2}{2m} \;=\;\frac{p^2}{2mh}\,.
Para massa menor m_e o quociente \tfrac{p^2}{2m} é maior. Como m_e < m_p, temos
f_{\rm elétron} =\frac{p^2}{2m_e h} > \frac{p^2}{2m_p h} = f_{\rm próton}\,.éó
Ou seja, a onda de matéria do elétron vibra mais rápido (maior frequência).

Resposta

d) mesmo comprimento de onda e frequência maior.

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