Um elétron está se movendo com uma velocidade de 0,999c. (a) Qual é a sua energia cinética? (b) Se a velocidade do elétron aumenta de 0,05 \%, qual é o aumento percentual de sua energia cinética?

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética relativística de um elétron que se move com v=0{,}999\,c e depois o aumento percentual dessa energia quando a velocidade cresce em 0{,}05\%. O conteúdo que vamos usar é a definição de fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},
onde \beta = v/c, e a fórmula da energia cinética relativística
K = (\gamma - 1)\,m\,c^2.

Passo 2

Primeiro calculamos o fator de Lorentz em v=0{,}999\,c. Aqui \beta=0{,}999, então
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}999)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}998001}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}001999}} \approx 22{,}37.

Passo 3

Agora a energia de repouso do elétron é
m\,c^2 = 9{,}11\times10^{-31}\,\text{kg}\,\times(3\times10^8\,\text{m/s})^2 =8{,}187\times10^{-14}\,\text{J} \approx 0{,}511\,\text{MeV}.
Logo a energia cinética é
K = (\gamma - 1)\,m\,c^2 = (22{,}37 - 1)\times0{,}511\,\text{MeV} \approx 21{,}37 \times 0{,}511\,\text{MeV} \approx 10{,}9\,\text{MeV}
ou em joules
K \approx 10{,}9\,\text{MeV}\times1{,}602\times10^{-13}\,\frac{\text{J}}{\text{MeV}} \approx 1{,}75\times10^{-12}\,\text{J}.

Passo 4

Para a parte (b), a velocidade cresce 0{,}05\%, ou seja
v' = v\,(1 + 0{,}0005) = 0{,}999\,c\times1{,}0005 = 0{,}9994995\,c.
O novo fator de Lorentz é
\gamma' = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}9994995)^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{0{,}00100075}} \approx 31{,}60.
A nova energia cinética fica
K' = (\gamma' - 1)\,m\,c^2 = (31{,}60 - 1)\times0{,}511\,\text{MeV} \approx 30{,}60\times0{,}511\,\text{MeV} \approx 15{,}6\,\text{MeV}.

Passo 5

O aumento percentual de energia cinética é
\frac{K' - K}{K}\times100\% = \frac{15{,}6 - 10{,}9}{10{,}9}\times100\% \approx \frac{4{,}7}{10{,}9}\times100\% \approx 43\%.

Resposta

(a) K\approx10{,}9\,\text{MeV} (ou 1{,}75\times10^{-12}\,\text{J}).
(b) O aumento percentual da energia cinética é de aproximadamente 43\%.

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