Um corpo de 0,30 \mathrm{~kg} quese desloca sem atrito numasuperfície horizontal está preso a uma extremidade de uma mola horizontal (com k=500 N/m). A outra extremidade da mola é mantida fixa. O corpo tem uma energia cinética de 10 J ao passar pela sua posição de equilíbrio. (a) Qual a potência exercida pela mola sobre o corpo quando este passa pela posição de equilíbrio? (b) Qual a potência exercida pela mola sobre o corpo quando a mola foi comprimida em 0,10 \mathrm{~m} e a massa está se afastando da posição de equilíbrio?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um corpo de massa m=0,30 kg preso a uma mola horizontal de constante elástica k=500 N/m, sem atrito. Ao passar pela posição de equilíbrio a energia cinética vale 10 J. Pede-se:
(a) a potência que a mola exerce sobre o corpo ao passar por x=0, e
(b) a potência que a mola exerce quando está comprimida de 0,10 m e o corpo se afasta da posição de equilíbrio.
Para resolver precisamos usar a força elástica F=-k\,x, a potência instantânea P=F\cdot v e conservação de energia para obter v em qualquer x.
Passo 2
A potência instantânea da mola sobre o corpo é
P = F\cdot v = (-k\,x)\,v = -\,k\,x\,v.
No ponto de equilíbrio x=0 temos F=-k\cdot0=0, logo
P\bigl|_{x=0}=0\cdot v=0.
Passo 3
A energia mecânica total é E=10 J (constante). Num deslocamento x=0,10 m a mola está comprimida, sua energia potencial é
U = \tfrac12\,k\,x^2 = \tfrac12\cdot500\cdot(0,10)^2 = 2{,}5\text{ J},
logo a energia cinética nesse ponto é
K = E - U = 10 - 2{,}5 = 7{,}5\text{ J},
e a velocidade do corpo vale
K = \tfrac12\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \pm\sqrt{\frac{2K}{m}} = \pm\sqrt{\frac{2\cdot7{,}5}{0{,}30}} = \pm7{,}07\text{ m/s}.
Como o corpo se afasta da posição de equilíbrio enquanto a mola está comprimida, o sinal de v é tal que continua comprimindo (velocidade dirigida para dentro), logo tomamos v=-7{,}07 m/s e x=-0,10 m. A força da mola é
F = -k\,x = -500\cdot(-0,10)=+50\text{ N}.
Assim a potência é
P = F\cdot v = 50\cdot(-7{,}07)\approx -353{,}5\text{ W}\approx -3{,}54\times10^2\text{ W}.