Um elétron sofre a influência de uma força de 5,00 \times 10^{-15} \mathrm{~N} em razão de um campo elétrico. Encontre a aceleração que essa força produz em cada caso:
A velocidade do elétron é de 2,50 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a força é paralela à velocidade.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a aceleração produzida pela força sobre o elétron quando a força é paralela à velocidade do elétron.
Informações fornecidas e constantes que usarei (tudo em notação científica):
F = 5{,}00\times10^{-15}\\ \mathrm{N}
v = 2{,}50\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
a direção da força é paralela à velocidade. Vou usar como constantes conhecidas:
m = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\quad\text{(massa de repouso do elétron)}é
c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\quad\text{(velocidade da luz)}

Passo 2

Por que não usar simplesmente F=ma clássico? Quando a velocidade é uma fração significativa de c (aqui v\approx0{,}83c), efeitos relativísticos são importantes. Então precisamos usar a relação relativística entre força e aceleração. Vou escolher o método relativístico porque v/c não é pequeno; o algoritmo do problema manda preferir métodos mais básicos, mas aqui o básico (F=ma) falha quantitativamente — vou mostrar isso depois para comparação.

Passo 3

Breve explicação da fórmula relativística necessária (passo-a-passo didático): a quantidade de movimento relativística é
\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v},
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}.
A força é a taxa de variação do momento:
\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\frac{d(\gamma\mathbf{v})}{dt}.
Usando a regra da cadeia:
\frac{d(\gamma\mathbf{v})}{dt}=\gamma\mathbf{a}+\mathbf{v}\frac{d\gamma}{dt}.
E sabe-se (ou pode ser mostrado derivando \gamma) que
\frac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^{2}}.
Como aqui a força (e portanto a aceleração) é paralela à velocidade, temos \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=va e todos os vetores são colineares. Substituindo:
\mathbf{F}=m\Big(\gamma\mathbf{a}+\mathbf{v}\,\gamma^{3}\frac{v a}{c^{2}}\Big) = m\mathbf{a}\Big(\gamma+\gamma^{3}\frac{v^{2}}{c^{2}}\Big).
Agora simplificamos o fator entre parênteses. Observe que
\gamma^{2}=\frac{1}{1-(v/c)^{2}}\quad\Rightarrow\quad 1+\gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}=\gamma^{2}.
Portanto
\gamma+\gamma^{3}\frac{v^{2}}{c^{2}}=\gamma\big(1+\gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\big)=\gamma\cdot\gamma^{2}=\gamma^{3}.
Logo, para força paralela à velocidade vale a relação simples
\boxed{\;F=\gamma^{3} m a\;}
ou, isolando a,
\boxed{\;a=\dfrac{F}{\gamma^{3} m}\;}.

Passo 4

Calcular \gamma. Primeiro o quociente v/c:
\frac{v}{c}=\frac{2{,}50\times10^{8}}{3{,}00\times10^{8}}=0{,}833333\ldots
O quadrado é
\left(\frac{v}{c}\right)^{2}=0{,}833333^{2}=0{,}694444\ldots
Portanto
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}694444}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}305556}}=1{,}809\\ \text{(aprox.)}.

Passo 5

Calcular \gamma^{3}:
\gamma^{3}=(1{,}809)^{3}=5{,}922\\ \text{(aprox.)}.

Passo 6

Agora calculamos o denominador \gamma^{3}m:
\gamma^{3}m=5{,}922\times 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}=5{,}395\times10^{-30}\\ \mathrm{kg}\\ \text{(aprox.)}.
Finalmente a aceleração:
a=\frac{F}{\gamma^{3}m}=\frac{5{,}00\times10^{-15}}{5{,}395\times10^{-30}}\\ \mathrm{m/s^{2}} =9{,}27\times10^{14}\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ \text{(aprox.)}.

Passo 7

Para intuição: se tivéssemos usado F=ma clássico obteríamos
a_{\text{clássica}}=\frac{F}{m}=\frac{5{,}00\times10^{-15}}{9{,}11\times10^{-31}}=5{,}49\times10^{15}\\ \mathrm{m/s^{2}},á
que é maior por um fator \gamma^{3}\approx5{,}92. Isso mostra como a correção relativística reduz a aceleração quando a força é paralela à velocidade.

Resposta

9{,}27\times10^{14}\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados