Um elétron sofre a influência de uma força de
em razão de um campo elétrico. Encontre a aceleração que essa força produz em cada caso:
A velocidade do elétron é de
e a força é paralela à velocidade.
A velocidade do elétron é de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a aceleração produzida pela força sobre o elétron quando a força é paralela à velocidade do elétron.
Informações fornecidas e constantes que usarei (tudo em notação científica):
Informações fornecidas e constantes que usarei (tudo em notação científica):
a direção da força é paralela à velocidade. Vou usar como constantes conhecidas:
Passo 2
Por que não usar simplesmente
clássico? Quando a velocidade é uma fração significativa de
(aqui
), efeitos relativísticos são importantes. Então precisamos usar a relação relativística entre força e aceleração. Vou escolher o método relativístico porque
não é pequeno; o algoritmo do problema manda preferir métodos mais básicos, mas aqui o básico (F=ma) falha quantitativamente — vou mostrar isso depois para comparação.
Passo 3
Breve explicação da fórmula relativística necessária (passo-a-passo didático): a quantidade de movimento relativística é
onde
A força é a taxa de variação do momento:
Usando a regra da cadeia:
E sabe-se (ou pode ser mostrado derivando
) que
Como aqui a força (e portanto a aceleração) é paralela à velocidade, temos
e todos os vetores são colineares. Substituindo:
Agora simplificamos o fator entre parênteses. Observe que
Portanto
Logo, para força paralela à velocidade vale a relação simples
ou, isolando
,
Passo 4
Calcular
. Primeiro o quociente
:
O quadrado é
Portanto
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Agora calculamos o denominador
:
Finalmente a aceleração:
Passo 7
Para intuição: se tivéssemos usado
clássico obteríamos
que é maior por um fator
. Isso mostra como a correção relativística reduz a aceleração quando a força é paralela à velocidade.