25 Uma fonte de radiação eletromagnética está se movendo em uma direção radial em relação a você. A frequência medida por você é de 1,25 vez a frequência medida no sistema de repouso da fonte. Qual é a velocidade da fonte em relação a você? A fonte está se aproximando ou se afastando de você?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que sabemos):
- Foi medida por mim uma frequência que é
vezes a frequência medida no referencial de repouso da fonte. - Em símbolos:
. - Perguntas: encontrar a velocidade da fonte em relação a mim e dizer se a fonte está se aproximando ou se afastando.
Passo 2
Apresento a fórmula que relaciona velocidade relativa e deslocamento Doppler relativístico longitudinal para radiação eletromagnética (caso em que a velocidade é ao longo da linha de visão). A razão entre as frequências observada e de repouso é dada por
onde
é a razão velocidade-luz definida por
com
sendo a velocidade da fonte relativa ao observador em módulo e
a velocidade da luz no vácuo. Nesta convenção,
corresponde a um movimento da fonte na direção do observador (aproximação), o que produz aumento da frequência (blueshift), enquanto
corresponde a afastamento (redshift).
Explicação rápida e intuitiva da fórmula: essa expressão é a versão relativística do efeito Doppler longitudinal — ela surge ao combinar a dilatação do tempo (efeito relativístico que altera o intervalo de tempo entre emissões, por um fator
) com o fato de que, durante o tempo entre duas emissões, a fonte se desloca em direção ao observador (ou para longe), alterando o tempo entre chegadas das cristas. Uma derivação completa passa pelo uso da transformação de Lorentz para os instantes de emissão e pela condição de que a velocidade da luz é
; o resultado final é a fórmula acima.
Passo 3
Uso a fórmula para isolar
. Defino a razão ao quadrado
Da fórmula segue
Agora resolvo essa equação para
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Distribuindo o
:
Agrupo os termos com
num lado e os restantes no outro:
Fatorando
do lado esquerdo:
Dividindo por
(que não é zero porque
):
Portanto obtivemos uma expressão explícita:
Passo 4
Agora plugo o valor numérico dado
. Primeiro calculo
:
Substituo na fórmula de
:
Faço a simplificação em fração exata:
e
, logo
Assim a velocidade em termos de
é
Convertendo para metros por segundo usando
:
Passo 5
Interpretação do sinal / direção: como
(
), houve aumento da frequência (blueshift). Pela convenção usada, isso corresponde a
, ou seja, a fonte está se aproximando do observador.