25 Uma fonte de radiação eletromagnética está se movendo em uma direção radial em relação a você. A frequência medida por você é de 1,25 vez a frequência medida no sistema de repouso da fonte. Qual é a velocidade da fonte em relação a você? A fonte está se aproximando ou se afastando de você?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que sabemos):
  • Foi medida por mim uma frequência que é 1{,}25 vezes a frequência medida no referencial de repouso da fonte.
  • Em símbolos: \nu_{\text{obs}} = 1{,}25\,\nu_{\text{src}}.
  • Perguntas: encontrar a velocidade da fonte em relação a mim e dizer se a fonte está se aproximando ou se afastando.

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona velocidade relativa e deslocamento Doppler relativístico longitudinal para radiação eletromagnética (caso em que a velocidade é ao longo da linha de visão). A razão entre as frequências observada e de repouso é dada por
\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},
onde \beta é a razão velocidade-luz definida por
\beta=\frac{v}{c},
com v sendo a velocidade da fonte relativa ao observador em módulo e c a velocidade da luz no vácuo. Nesta convenção, \beta>0 corresponde a um movimento da fonte na direção do observador (aproximação), o que produz aumento da frequência (blueshift), enquanto \beta<0 corresponde a afastamento (redshift).
Explicação rápida e intuitiva da fórmula: essa expressão é a versão relativística do efeito Doppler longitudinal — ela surge ao combinar a dilatação do tempo (efeito relativístico que altera o intervalo de tempo entre emissões, por um fator \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}) com o fato de que, durante o tempo entre duas emissões, a fonte se desloca em direção ao observador (ou para longe), alterando o tempo entre chegadas das cristas. Uma derivação completa passa pelo uso da transformação de Lorentz para os instantes de emissão e pela condição de que a velocidade da luz é c; o resultado final é a fórmula acima.

Passo 3

Uso a fórmula para isolar \beta. Defino a razão ao quadrado
R=\left(\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}\right)^{2}.
Da fórmula segue
R=\frac{1+\beta}{1-\beta}.
Agora resolvo essa equação para \beta. Multiplicando ambos os lados por (1-\beta) obtemos
R(1-\beta)=1+\beta.
Distribuindo o R:
R - R\beta = 1 + \beta.
Agrupo os termos com \beta num lado e os restantes no outro:
-R\beta - \beta = 1 - R.
Fatorando \beta do lado esquerdo:
\beta(-R - 1) = 1 - R.
Dividindo por -R-1 (que não é zero porque R>0):
\beta = \frac{1 - R}{-R - 1} = \frac{R - 1}{R + 1}.
Portanto obtivemos uma expressão explícita:
\beta=\frac{R-1}{R+1}, \qquad\text{com}\qquad R=\left(\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}\right)^{2}.

Passo 4

Agora plugo o valor numérico dado \nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{src}}=1{,}25. Primeiro calculo R:
R=(1{,}25)^{2}=1{,}5625.
Substituo na fórmula de \beta:
\beta=\frac{1{,}5625-1}{1{,}5625+1}=\frac{0{,}5625}{2{,}5625}.
Faço a simplificação em fração exata: 0{,}5625=\tfrac{9}{16} e 2{,}5625=\tfrac{41}{16}, logo
\beta=\frac{9/16}{41/16}=\frac{9}{41}\approx 0{,}219512\ldots
Assim a velocidade em termos de c é
v=\beta c\approx 0{,}219512\,c\approx 0{,}2195\,c\quad(\text{arredondado a quatro algarismos significativos}).
Convertendo para metros por segundo usando c\approx 3{,}00\times 10^{8}\\ \text{m/s}:
v\approx 0{,}219512\times 3{,}00\times 10^{8}\\ \text{m/s}\approx 6{,}585\times 10^{7}\\ \text{m/s}\approx 6{,}59\times 10^{7}\\ \text{m/s}.

Passo 5

Interpretação do sinal / direção: como \nu_{\text{obs}}>\nu_{\text{src}} ( 1{,}25>1), houve aumento da frequência (blueshift). Pela convenção usada, isso corresponde a \beta>0, ou seja, a fonte está se aproximando do observador.

Resposta

v\approx 0{,}2195\,c \approx 6{,}59\times 10^{7}\\ \text{m/s}\nA fonte está se aproximando.

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