27 Um próton possui momento linear com módulo p_{0} quando sua velocidade é de 0,400 c. Em termos de p_{0}, qual é o módulo do momento linear do próton quando sua velocidade dobra para 0,800 c ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta. Informações: o próton tem momento linear de módulo \,p_{0}\, quando sua velocidade é \,0,400c\,. Em seguida a velocidade dobra para \,0,800c\,. Pergunta: em termos de \,p_{0}\,, qual é o módulo do momento linear do próton na nova velocidade? Lista de dados relevantes que vamos usar: velocidade inicial \,v_{1}=0,400c\,, velocidade final \,v_{2}=0,800c\,, momento inicial \,p_{0}\,. Não foi dado o valor da massa de repouso do próton e nem pediram valor numérico em kg — vamos expressar o resultado em função de \,p_{0}\,.

Passo 2

Apresento a fórmula da física que relaciona momento linear relativístico, massa e velocidade. A definição relativística do momento linear é
p=\gamma m v,
onde explico cada símbolo:
  • p é o módulo do momento linear (o que queremos calcular);
  • m é a massa de repouso da partícula (no caso, do próton);
  • v é a velocidade da partícula;
  • \gamma é o fator de Lorentz, que corrige efeitos relativísticos quando v não é desprezível em relação a c. O fator \gamma é dado por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}.
Explicação didática: \gamma aumenta quando v se aproxima de c; para velocidades muito pequenas ( v\ll c) temos \gamma\approx 1 e a expressão reduz-se ao momento clássico p\approx m v.

Passo 3

Escrevo o momento inicial e o momento final usando a mesma fórmula. Para a velocidade inicial \,v_{1}=0,400c\, temos
p_{0}=\gamma_{1} m v_{1}.
Para a velocidade final \,v_{2}=0,800c\, o momento será
p_{2}=\gamma_{2} m v_{2}.
Aqui \gamma_{1} e \gamma_{2} são os fatores de Lorentz correspondentes a \,v_{1}\, e \,v_{2}\,, respectivamente.

Passo 4

Como o objetivo é expressar p_{2} em termos de p_{0}, divido uma equação pela outra para eliminar m:
\frac{p_{2}}{p_{0}}=\frac{\gamma_{2} m v_{2}}{\gamma_{1} m v_{1}}=\frac{\gamma_{2} v_{2}}{\gamma_{1} v_{1}}.
Portanto
p_{2}=p_{0}\,\frac{\gamma_{2} v_{2}}{\gamma_{1} v_{1}}.
Essa é uma manobra muito útil: ao formar a razão, a massa de repouso desaparece e só precisamos dos fatores \gamma e das velocidades.

Passo 5

Calculo explicitamente \gamma_{1} e \gamma_{2}. Para \,v_{1}=0,400c\,
\gamma_{1}=\frac{1}{\sqrt{1-(0,400)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0,160}}=\frac{1}{\sqrt{0,840}}.
Observação algébrica útil: 0,840=\dfrac{21}{25}, logo \sqrt{0,840}=\dfrac{\sqrt{21}}{5} e portanto
\gamma_{1}=\frac{1}{\sqrt{0,840}}=\frac{5}{\sqrt{21}}.
Para \,v_{2}=0,800c\,
\gamma_{2}=\frac{1}{\sqrt{1-(0,800)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0,640}}=\frac{1}{\sqrt{0,360}}.
E \sqrt{0,360}=0,600, então
\gamma_{2}=\frac{1}{0,600}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Agora substituo \gamma_{1}, \gamma_{2}, v_{1} e v_{2} na expressão para a razão p_{2}/p_{0}:
\frac{p_{2}}{p_{0}}=\frac{\gamma_{2} v_{2}}{\gamma_{1} v_{1}} = \frac{\left(\dfrac{5}{3}\right)\cdot(0,800c)}{\left(\dfrac{5}{\sqrt{21}}\right)\cdot(0,400c)}.
Cancelam-se o fator c e o fator 5. Fazendo as simplificações passo a passo:
\frac{p_{2}}{p_{0}}=\frac{\dfrac{1}{3}\cdot 0,800}{\dfrac{1}{\sqrt{21}}\cdot 0,400} = \frac{0,800}{3}\cdot\frac{\sqrt{21}}{0,400}.
Agrupando os números:
\frac{p_{2}}{p_{0}}=\frac{0,800}{0,400}\cdot\frac{\sqrt{21}}{3}=2\cdot\frac{\sqrt{21}}{3}=\frac{2\sqrt{21}}{3}.
Logo
p_{2}=p_{0}\,\frac{2\sqrt{21}}{3}.

Passo 7

Interpretação final e aproximação numérica (para intuir a ordem de grandeza): \sqrt{21}\approx 4,5826, então
\frac{2\sqrt{21}}{3}\approx\frac{2\cdot 4,5826}{3}\approx 3,055.
Assim p_{2}\approx 3,055\,p_{0}. Mas a forma exata em termos de p_{0} é mais elegante e pedida no enunciado: p_{2}=p_{0}\dfrac{2\sqrt{21}}{3}. Força aí — a resposta mostra que ao dobrar a velocidade de 0,400c para 0,800c o momento cresce mais que o dobro por causa do fator \gamma.

Resposta

p_{2}=p_{0}\,\frac{2\sqrt{21}}{3}\approx 3,055\,p_{0}

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