27 Um próton possui momento linear com módulo
quando sua velocidade é de
. Em termos de
, qual é o módulo do momento linear do próton quando sua velocidade dobra para
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta. Informações: o próton tem momento linear de módulo
quando sua velocidade é
. Em seguida a velocidade dobra para
. Pergunta: em termos de
, qual é o módulo do momento linear do próton na nova velocidade? Lista de dados relevantes que vamos usar: velocidade inicial
, velocidade final
, momento inicial
. Não foi dado o valor da massa de repouso do próton e nem pediram valor numérico em kg — vamos expressar o resultado em função de
.
Passo 2
Apresento a fórmula da física que relaciona momento linear relativístico, massa e velocidade. A definição relativística do momento linear é
onde explico cada símbolo:
-
é o módulo do momento linear (o que queremos calcular); -
é a massa de repouso da partícula (no caso, do próton); -
é a velocidade da partícula; -
é o fator de Lorentz, que corrige efeitos relativísticos quando não é desprezível em relação a . O fator é dado por
Explicação didática:
aumenta quando
se aproxima de
; para velocidades muito pequenas (
) temos
e a expressão reduz-se ao momento clássico
.
Passo 3
Escrevo o momento inicial e o momento final usando a mesma fórmula. Para a velocidade inicial
temos
Para a velocidade final
o momento será
Aqui
e
são os fatores de Lorentz correspondentes a
e
, respectivamente.
Passo 4
Como o objetivo é expressar
em termos de
, divido uma equação pela outra para eliminar
:
Portanto
Essa é uma manobra muito útil: ao formar a razão, a massa de repouso desaparece e só precisamos dos fatores
e das velocidades.
Passo 5
Calculo explicitamente
e
. Para
Observação algébrica útil:
, logo
e portanto
Para
E
, então
Passo 6
Agora substituo
,
,
e
na expressão para a razão
:
Cancelam-se o fator
e o fator
. Fazendo as simplificações passo a passo:
Agrupando os números:
Logo
Passo 7
Interpretação final e aproximação numérica (para intuir a ordem de grandeza):
, então
Assim
. Mas a forma exata em termos de
é mais elegante e pedida no enunciado:
. Força aí — a resposta mostra que ao dobrar a velocidade de
para
o momento cresce mais que o dobro por causa do fator
.