Os elétrons no feixe de um tubo de televisão possuem uma energia cinética de
J. Inicialmente, os elétrons movem-se horizontalmente de oeste para leste. A componente vertical do campo magnético da Terra aponta para baixo, em direção à superfície da Terra, e tem uma magnitude de
. (a) Em que direção os elétrons são desviados por esta componente do campo? (b) Qual é a aceleração de um elétron na parte (a)?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a direção em que os elétrons são desviados pela componente vertical do campo magnético da Terra.
- (b) Calcular a aceleração do elétron causada por essa componente do campo magnético.
Informações dadas (e constantes que vamos usar):
Constantes do elétron (valores padrão que usaremos):
Observação: o elétron tem carga
. Não faremos mais nada aqui — só listei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Conceito-chave: força magnética sobre uma carga em movimento (lei de Lorentz).
A força magnética é dada por
A força magnética é dada por
onde:
-
é a força magnética (vetor), -
é a carga da partícula (para o elétron ), -
é o vetor velocidade, -
é o vetor campo magnético, -
é o produto vetorial (cross product).
O produto vetorial
tem duas propriedades importantes que vamos usar:
- A direção de
é perpendicular tanto a quanto a . - Para uma carga positiva, a força aponta na direção de
. Para uma carga negativa (elétron), a força aponta na direção oposta a .
Regra prática (regra da mão direita): para achar
, aponte os dedos na direção de
e dobre-os em direção a
; o polegar indica a direção de
. Como o elétron é negativo, a força real é no sentido contrário ao polegar.
Passo 3
Determinação da direção do desvio (parte (a)):
Escolhemos um sistema de referência simples:
- direção leste =
, - direção norte =
, - direção para cima =
.
Dados traduzidos:
Calculamos o produto vetorial para uma carga positiva:
Usando as identidades do produto vetorial num sistema direito (
,
,
) obtemos
Portanto
ou seja, para uma carga positiva a força seria para o norte (
). Como o elétron tem carga negativa (
), a força sobre o elétron é na direção oposta:
Resposta da parte (a): os elétrons são desviados para o sul.
Passo 4
Agora vamos calcular a aceleração (parte (b)). Primeiro precisamos da velocidade do elétron a partir da energia cinética.
Relação entre energia cinética e velocidade (não-relativística):
Isolando
:
Substituímos os valores:
Fazendo as contas passo a passo:
Nota rápida: esse valor é bem menor que a velocidade da luz, então a aproximação não-relativística (usando
) é aceitável.
Passo 5
Cálculo da força magnética (módulo). Para a situação temos
perpendicular a
, então
e o módulo da força magnética é
Para o elétron usamos
. Substituindo:
Agora os números:
Multiplicando passo a passo:
ajustando potências de 10:
Passo 6
Cálculo da aceleração: pela segunda lei de Newton,
Como a força está dirigida para o sul, a aceleração também estará para o sul e seu módulo é
Fazendo a divisão:
Interpretação: esse valor é enorme em comparação com acelerações do dia a dia, mas faz sentido porque a massa do elétron é extremamente pequena.
Resposta
a) Para o sul.
b) para o sul.
b)