Os elétrons no feixe de um tubo de televisão possuem uma energia cinética de 2,40 \times 10^{-15} J. Inicialmente, os elétrons movem-se horizontalmente de oeste para leste. A componente vertical do campo magnético da Terra aponta para baixo, em direção à superfície da Terra, e tem uma magnitude de 2,00 \times 10^{-5} \mathrm{~T}. (a) Em que direção os elétrons são desviados por esta componente do campo? (b) Qual é a aceleração de um elétron na parte (a)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a direção em que os elétrons são desviados pela componente vertical do campo magnético da Terra.
  2. (b) Calcular a aceleração do elétron causada por essa componente do campo magnético.
Informações dadas (e constantes que vamos usar):
\text{energia cinética } K = 2{,}40\times10^{-15}\\ \mathrm{J}é
\text{direção inicial do movimento: de oeste para leste (isto é, para leste)}çãé
\text{componente vertical do campo magnético: para baixo, } B = 2{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{T}é
Constantes do elétron (valores padrão que usaremos):
m_e = 9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}
e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
Observação: o elétron tem carga q=-e. Não faremos mais nada aqui — só listei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Conceito-chave: força magnética sobre uma carga em movimento (lei de Lorentz).
A força magnética é dada por
\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B},
onde:
  • \vec{F} é a força magnética (vetor),
  • q é a carga da partícula (para o elétron q=-e),
  • \vec{v} é o vetor velocidade,
  • \vec{B} é o vetor campo magnético,
  • \times é o produto vetorial (cross product).
O produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} tem duas propriedades importantes que vamos usar:
  • A direção de \vec{v}\times\vec{B} é perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B}.
  • Para uma carga positiva, a força aponta na direção de \vec{v}\times\vec{B}. Para uma carga negativa (elétron), a força aponta na direção oposta a \vec{v}\times\vec{B}.
Regra prática (regra da mão direita): para achar \vec{v}\times\vec{B}, aponte os dedos na direção de \vec{v} e dobre-os em direção a \vec{B}; o polegar indica a direção de \vec{v}\times\vec{B}. Como o elétron é negativo, a força real é no sentido contrário ao polegar.

Passo 3

Determinação da direção do desvio (parte (a)):
Escolhemos um sistema de referência simples:
  • direção leste = \hat{x},
  • direção norte = \hat{y},
  • direção para cima = \hat{z}.
Dados traduzidos:
\vec{v} \text{ (movimento) } = +\hat{x} \quad(\text{leste})
\vec{B} \text{ (campo) } = -\hat{z} \quad(\text{para baixo})
Calculamos o produto vetorial para uma carga positiva:
\vec{v}\times\vec{B} = \hat{x}\times(-\hat{z}) = -(\hat{x}\times\hat{z}).
Usando as identidades do produto vetorial num sistema direito ( \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}, \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}) obtemos
\hat{x}\times\hat{z} = -\hat{y}.
Portanto
\vec{v}\times\vec{B} = -(-\hat{y}) = +\hat{y},
ou seja, para uma carga positiva a força seria para o norte ( +\hat{y}). Como o elétron tem carga negativa ( q=-e), a força sobre o elétron é na direção oposta:
\vec{F}_{\text{elétron}} = q\,(\vec{v}\times\vec{B}) = -e\,( \vec{v}\times\vec{B}) \rightarrow \text{para o sul}.é
Resposta da parte (a): os elétrons são desviados para o sul.

Passo 4

Agora vamos calcular a aceleração (parte (b)). Primeiro precisamos da velocidade do elétron a partir da energia cinética.
Relação entre energia cinética e velocidade (não-relativística):
K = \tfrac{1}{2} m_e v^2.
Isolando v:
v = \sqrt{\dfrac{2K}{m_e}}.
Substituímos os valores:
v = \sqrt{\dfrac{2\,(2{,}40\times10^{-15}\\ \mathrm{J})}{9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}}}.
Fazendo as contas passo a passo:
2K = 4{,}80\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
\dfrac{2K}{m_e} = \dfrac{4{,}80\times10^{-15}}{9{,}109\times10^{-31}} \approx 5{,}27\times10^{15}\\ \mathrm{(m/s)^2}.
v \approx \sqrt{5{,}27\times10^{15}} \approx 7{,}26\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Nota rápida: esse valor é bem menor que a velocidade da luz, então a aproximação não-relativística (usando K=\tfrac12 mv^2) é aceitável.

Passo 5

Cálculo da força magnética (módulo). Para a situação temos \vec{v} perpendicular a \vec{B}, então \sin\theta=1 e o módulo da força magnética é
F = |q|\,vB.
Para o elétron usamos |q|=e. Substituindo:
F = e\,v\,B.
Agora os números:
F = (1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\,(7{,}26\times10^{7}\\ \mathrm{m/s})\,(2{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{T}).
Multiplicando passo a passo:
1{,}602\times7{,}26 \approx 11{,}63,
11{,}63\times2{,}00 \approx 23{,}26,
ajustando potências de 10:
F \approx 2{,}33\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Cálculo da aceleração: pela segunda lei de Newton,
\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_e}.
Como a força está dirigida para o sul, a aceleração também estará para o sul e seu módulo é
a = \dfrac{F}{m_e} = \dfrac{2{,}33\times10^{-16}\\ \mathrm{N}}{9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}}.
Fazendo a divisão:
a \approx 2{,}55\times10^{14}\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: esse valor é enorme em comparação com acelerações do dia a dia, mas faz sentido porque a massa do elétron é extremamente pequena.

Resposta

a) Para o sul.
b) 2{,}55\times10^{14}\\ \mathrm{m/s^{2}} para o sul.

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