Um próton, viajando com uma velocidade de 4,5 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} para o leste, experimenta uma força magnética que tem uma magnitude máxima de 8,0 \times 10^{-14} \mathrm{~N} e uma direção para o sul.
Qual é a magnitude e a direção do campo magnético que causa a força?

Passo 1

O enunciado dá um próton que se move para o leste com velocidade \vec v de magnitude \;4,5\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s} e que sofre uma força magnética de magnitude \;8,0\times 10^{-14}\\ \mathrm{N} apontando para o sul. A pergunta pede: qual é a magnitude do campo magnético \vec B que causa essa força e qual é a direção de \vec B.
Informações dadas:
\text{velocidade:}\quad v=4,5\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s}
\text{força magnética:}\quad F=8,0\times 10^{-14}\\ \mathrm{N}çé
\text{partícula: próton (carga positiva) com } q=+e=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}íó
\text{direção da velocidade: leste}çã
\text{direção da força magnética: sul}çãçé

Passo 2

Apresente a fórmula que relaciona força magnética, carga, velocidade e campo magnético. A força magnética sobre uma partícula carregada é dada por
\vec F = q\,\vec v \times \vec B.
Aqui:
  • \vec F é a força magnética (vetor),
  • q é a carga da partícula (para o próton q=+1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}),
  • \vec v é o vetor velocidade,
  • \vec B é o vetor campo magnético,
  • \times é o produto vetorial (cross product), que dá um vetor perpendicular aos dois vetores envolvidos.
A magnitude dessa força é
F = |q|\,v\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec v e \vec B. Para que a força magnética tenha magnitude máxima para dadas q, v e B, precisamos de \sin\theta=1, ou seja, \theta=90^\circ: \vec B deve ser perpendicular a \vec v. Como o enunciado informa que a força alcança a magnitude máxima, podemos assumir \sin\theta=1.

Passo 3

Isolamos B na fórmula de magnitude com \sin\theta=1:
B=\frac{F}{|q|\,v}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos |q|\,v:
|q|\,v = \left(1,6\times10^{-19}\right)\left(4,5\times10^{6}\right).
Multiplicando os fatores numéricos:
1,6\times 4,5 = 7,2
e somando expoentes:
10^{-19}\times 10^{6}=10^{-13}.
Logo
|q|\,v = 7,2\times10^{-13}\\ \mathrm{(C\cdot m/s)}.

Passo 4

Agora calculamos B:
B=\frac{8,0\times10^{-14}}{7,2\times10^{-13}}.
Dividindo os coeficientes e ajustando a potência de 10:
\frac{8,0}{7,2}=1,111\ldots\quad\Rightarrow\quad 1,11\times10^{0}
e 10^{-14}/10^{-13}=10^{-1}. Portanto
B=1,11\times10^{-1}\\ \mathrm{T}=0,11\\ \mathrm{T}.
Pelo número de algarismos significativos dos dados (dois algarismos), reportamos B=0,11\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Determinar a direção de \vec B. Vamos escolher um sistema de eixos simples para interpretar “leste” e “sul”:
  • leste = direção +\hat{\imath} (eixo x),
  • norte = +\hat{\jmath} (eixo y),
  • para cima (vertical) = +\hat{k} (eixo z),
  • sul = -\hat{\jmath}.
Queremos que, para carga positiva q>0,
\vec F = q\,\vec v \times \vec B
apresente \vec F apontando para o sul, isto é \vec F na direção -\hat{\jmath}. Como \vec v aponta para leste, \vec v = v\,\hat{\imath}. Procuramos \vec B tal que \hat{\imath}\times\hat{b} = -\hat{\jmath}. Usando produto vetorial entre versores:
\hat{\imath}\times\hat{k} = -\hat{\jmath}.
Logo, se \vec B apontar na direção +\hat{k} (para cima), então
\vec v\times\vec B = vB(\hat{\imath}\times\hat{k}) = vB(-\hat{\jmath}),
e, multiplicando por q>0, a força fica para o sul, conforme dado. Portanto \vec B deve ser perpendicular à velocidade e apontar verticalmente para cima.

Resposta

B=0,11\\ \mathrm{T}
direção: vertical para cima (perpendicular à velocidade; isto é, para cima, de modo que \vec v (leste) \times \vec B resulte em força para o sul).

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