Um elevador move-se verticalmente em um poço de testes, e sua posição em relação ao ponto de partida nos primeiros 10 s de movimento é dada por
x(t)=1,5 t-0,1 t^{3}
onde x está em metros e t em segundos. (a) Em que instante, se houver, a velocidade do elevador é nula? (b) Em que instante sua aceleração a é zero? (c) Se o tranco j(t) (do inglês jerk) é obtido derivando-se a aceleração, ou seja
j(t)=\frac{\mathrm{d} a(t)}{\mathrm{d} t},
calcule o tranco no elevador, em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{3}. (d) Desenhe os gráficos de v(t), a(t) e j(t).

Passo 1

O enunciado dá a posição do elevador
x(t)=1{,}5\,t-0{,}1\,t^{3}
e pede (a) instante em que a velocidade é nula, (b) instante em que a aceleração é nula, (c) o tranco j(t), e (d) os gráficos de v(t), a(t) e j(t). O conteúdo é cinemática unidimensional: derivadas sucessivas de x(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos a velocidade como derivada de x(t):
v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(1{,}5t-0{,}1t^3\bigr) =1{,}5-0{,}3\,t^2.
Para achar quando v(t)=0, resolvemos
1{,}5-0{,}3\,t^2=0 \quad\Longrightarrow\quad t^2=\frac{1{,}5}{0{,}3}=5 \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{5}\,\text{s}
(descartamos a raiz negativa pois t\ge0).

Passo 3

Agora a aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(1{,}5-0{,}3t^2\bigr) =-0{,}6\,t.
Para a(t)=0 temos
-0{,}6\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0\,\text{s}.

Passo 4

O tranco é a derivada de a(t):
j(t)=\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-0{,}6\,t) =-0{,}6\quad (\mathrm{m/s^3}),
constante ao longo do movimento.

Passo 5

Esboço dos gráficos em função de t\in[0,10]:
v(t)=1{,}5-0{,}3t^2: parábola voltada para baixo, com v(0)=1{,}5, cruza o eixo t em \sqrt{5}, e decresce para valores negativos.
a(t)=-0{,}6t: reta decrescente passando por (0,0) e (10,-6).
j(t)=-0{,}6: reta horizontal constante em -0{,}6.

Resposta

(a) \;t=\sqrt{5}\,\mathrm{s}\approx2{,}24\,\mathrm{s}.
(b) \;t=0\,\mathrm{s}.
(c) \;j(t)=-0{,}6\;\mathrm{m/s^3} (constante).
(d) Gráficos esboçados no passo anterior:
v(t) é uma parábola invertida,
a(t) é uma reta decrescente,
j(t) é linha horizontal.

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