5 . Um elevador pesa 300 kg . Em cada viagem leva sempre 3 pessoas sendo o peso de cada pessoa normal de média 70 kg e desvio padrão
. Se o peso ultrapassar 515 kg haverá uma multa de
100,00$.
Qual o gasto esperado em multas em 100 viagens?
Qual o gasto esperado em multas em 100 viagens?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade específica:
- Peso do elevador (determinístico):
. - Em cada viagem entram sempre 3 pessoas.
- O peso de cada pessoa é uma variável aleatória normal com média
) e desvio padrão ). - Se o peso total (elevador + 3 pessoas) ultrapassar
), há uma multa de ) nessa viagem. - Pergunta: qual o gasto esperado em multas em
) viagens?
Essas são todas as informações relevantes que vamos usar.
Passo 2
Vamos definir variáveis aleatórias para modelar o problema:
- Seja
) os pesos das três pessoas numa viagem. Pelo enunciado, cada ) é normal com média ) e variância ), e assumimos independência entre elas. - Seja
) o peso total das três pessoas. - O peso total do conjunto (elevador + pessoas) é
).
Agora vamos calcular a distribuição de
) e de
).
Passo 3
Média de
): a esperança (média) da soma é a soma das esperanças. Como cada
) tem média
),
Passo 4
Variância de
): como assumimos independência, a variância da soma é a soma das variâncias. Cada
) tem variância
), logo
O desvio padrão de
) é
).
Passo 5
Como a soma de variáveis normais independentes é exatamente normal, concluímos que
Como
) é só um deslocamento por constante, temos
ou seja,
e
.
Passo 6
Queremos a probabilidade de multa numa viagem:
Padronizando (transformando para a normal padrão
)):
Vamos calcular numericamente o denominador: usando raiz quadrada,
logo
Passo 7
Agora usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para achar
em
. Interpolando na tabela:
Portanto a probabilidade de multa em uma viagem é
Interpretação: em média cerca de
das viagens geram multa.
Passo 8
Esperança do gasto em multas por viagem: cada viagem tem custo
) com probabilidade
, então o gasto esperado por viagem é
Para
) viagens, por linearidade da esperança, o gasto esperado total é
Substituindo
,
Passo 9
Conclusão numérica final: o gasto esperado com multas em
) viagens é aproximadamente
). Força aí — é um resultado que dá uma ideia de quanto custam essas pequenas probabilidades acumuladas!