5 . Um elevador pesa 300 kg . Em cada viagem leva sempre 3 pessoas sendo o peso de cada pessoa normal de média 70 kg e desvio padrão 3,4 \mathrm{~kg}. Se o peso ultrapassar 515 kg haverá uma multa de \mathrm{R} \ 100,00$.
Qual o gasto esperado em multas em 100 viagens?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade específica:
  • Peso do elevador (determinístico): \mathrm{300\\ kg}.
  • Em cada viagem entram sempre 3 pessoas.
  • O peso de cada pessoa é uma variável aleatória normal com média \mu=70\\ \mathrm{kg} ) e desvio padrão \sigma=3{,}4\\ \mathrm{kg} ).
  • Se o peso total (elevador + 3 pessoas) ultrapassar 515\\ \mathrm{kg} ), há uma multa de \mathrm{R\$}\\\ 100{,}00 ) nessa viagem.
  • Pergunta: qual o gasto esperado em multas em 100 ) viagens?
Essas são todas as informações relevantes que vamos usar.

Passo 2

Vamos definir variáveis aleatórias para modelar o problema:
  • Seja X_1, X_2, X_3 ) os pesos das três pessoas numa viagem. Pelo enunciado, cada X_i ) é normal com média 70 ) e variância 3{,}4^2 ), e assumimos independência entre elas.
  • Seja S = X_1 + X_2 + X_3 ) o peso total das três pessoas.
  • O peso total do conjunto (elevador + pessoas) é T = 300 + S ).
Agora vamos calcular a distribuição de S ) e de T ).

Passo 3

Média de S ): a esperança (média) da soma é a soma das esperanças. Como cada X_i ) tem média 70 ),
\mathbb{E}[S] = \mathbb{E}[X_1] + \mathbb{E}[X_2] + \mathbb{E}[X_3] = 3\cdot 70 = 210\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Variância de S ): como assumimos independência, a variância da soma é a soma das variâncias. Cada X_i ) tem variância 3{,}4^2 = 11{,}56 ), logo
\mathrm{Var}(S) = 3\cdot 11{,}56 = 34{,}68\\ (\mathrm{kg}^2).
O desvio padrão de S ) é \sqrt{34{,}68} ).

Passo 5

Como a soma de variáveis normais independentes é exatamente normal, concluímos que
S \sim N\bigl(210,\;34{,}68\bigr).
Como T = 300 + S ) é só um deslocamento por constante, temos
T \sim N\bigl(510,\;34{,}68\bigr),
ou seja, \mathbb{E}[T]=510\\ \mathrm{kg} e \mathrm{SD}(T)=\sqrt{34{,}68}\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Queremos a probabilidade de multa numa viagem:
p = \mathbb{P}(T>515).
Padronizando (transformando para a normal padrão Z\sim N(0,1) )):
p = \mathbb{P}\!\left(Z > \frac{515-510}{\sqrt{34{,}68}}\right) = \mathbb{P}\!\left(Z > \frac{5}{\sqrt{34{,}68}}\right).
Vamos calcular numericamente o denominador: usando raiz quadrada,
\sqrt{34{,}68}\approx 5{,}888973,
logo
z=\frac{5}{\sqrt{34{,}68}}\approx 0{,}8492.

Passo 7

Agora usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para achar \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z) em z\approx 0{,}8492. Interpolando na tabela:
\Phi(0{,}8492)\approx 0{,}80208.
Portanto a probabilidade de multa em uma viagem é
p = 1-\Phi(0{,}8492)\approx 1-0{,}80208=0{,}19792.
Interpretação: em média cerca de 19{,}792\% das viagens geram multa.

Passo 8

Esperança do gasto em multas por viagem: cada viagem tem custo \mathrm{R\$}\\\ 100{,}00 ) com probabilidade p, então o gasto esperado por viagem é
\mathbb{E}[\text{custo por viagem}] = 100\cdot p \\ (\mathrm{R\$}).
Para 100 ) viagens, por linearidade da esperança, o gasto esperado total é
100 \times (100\cdot p) = 10000\cdot p\\ (\mathrm{R\$}).
Substituindo p\approx 0{,}19792,
\text{gasto esperado em 100 viagens} \approx 10000\times 0{,}19792=\;1979{,}24\\ \text{(reais)}.

Passo 9

Conclusão numérica final: o gasto esperado com multas em 100 ) viagens é aproximadamente \mathrm{R\$}\\\ 1979{,}24 ). Força aí — é um resultado que dá uma ideia de quanto custam essas pequenas probabilidades acumuladas!

Resposta

\mathrm{R\$}\,1979{,}24

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