Um elevador possul o seguinte aviso: Capacidade máxima de 9 pessoas ou 630 kg de carga. Admita que os pesos das pessoas que entram no elevador sejam variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuidas com média
e desvio padrão
. Pede-se: Utilize o teorema da combinação linear para calcular a probabilidade de haver sobrecarga (carga exceder 630 kg ), quando uma amostra aleatória de 9 pessoas está no elevador.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de haver sobrecarga no elevador quando entram
pessoas. Informações dadas:
- Capacidade máxima:
. - Pesos das pessoas são variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média
e desvio padrão . - Tamanho da amostra:
.
A pergunta que vamos responder é: qual équando há pessoas no elevador?
Passo 2
Conceito importante (teorema da combinação linear que vamos usar): se
são variáveis independentes e cada uma é normal,
, então a soma
também é normal com média igual à soma das médias e variância igual à soma das variâncias. Ou seja,
Aqui
é a média de cada pessoa e
é a variância de cada pessoa. Essa propriedade é exata (não é aproximação): soma de normais independentes é normal.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
e
:
- Média da soma:
- Variância da soma:
- Desvio padrão da soma:
Passo 4
Queremos calcular
Como
é normal com média
e desvio padrão
, padronizamos para a variável normal padrão
. A padronização é:
Então
Passo 5
Calculamos o valor de
:
Portanto
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão (ou seja,
).
Passo 6
Agora usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter
. Valor conhecido:
Logo
Interpretação prática: a probabilidade de sobrecarga é cerca de
. É um evento raro, mas não impossível.