Um elevador possul o seguinte aviso: Capacidade máxima de 9 pessoas ou 630 kg de carga. Admita que os pesos das pessoas que entram no elevador sejam variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuidas com média \mu=62,8 \mathrm{~kg} e desvio padrão \sigma=9 \mathrm{~kg}. Pede-se: Utilize o teorema da combinação linear para calcular a probabilidade de haver sobrecarga (carga exceder 630 kg ), quando uma amostra aleatória de 9 pessoas está no elevador.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de haver sobrecarga no elevador quando entram 9 pessoas. Informações dadas:
  • Capacidade máxima: 630\\ \mathrm{kg}.
  • Pesos das pessoas são variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média \mu=62{,}8\\ \mathrm{kg} e desvio padrão \sigma=9\\ \mathrm{kg}.
  • Tamanho da amostra: n=9.
    A pergunta que vamos responder é: qual é \;P(\text{carga total} > 630\\ \mathrm{kg}) quando há 9 pessoas no elevador?

Passo 2

Conceito importante (teorema da combinação linear que vamos usar): se X_1,\dots,X_n são variáveis independentes e cada uma é normal, X_i\sim N(\mu,\sigma^2), então a soma
S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i
também é normal com média igual à soma das médias e variância igual à soma das variâncias. Ou seja,
S_n \sim N\Biggl(n\mu,\; n\sigma^2\Biggr).
Aqui \mu é a média de cada pessoa e \sigma^2 é a variância de cada pessoa. Essa propriedade é exata (não é aproximação): soma de normais independentes é normal.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=9, \mu=62{,}8 e \sigma=9:
  • Média da soma:
\mathbb{E}[S_9]=n\mu=9\cdot 62{,}8=565{,}2\\ \mathrm{kg}.
  • Variância da soma:
\mathrm{Var}(S_9)=n\sigma^2=9\cdot 9^2=9\cdot 81=729\\ (\mathrm{kg}^2).
  • Desvio padrão da soma:
\mathrm{sd}(S_9)=\sqrt{729}=27\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Queremos calcular
P(S_9>630).
Como S_9 é normal com média 565{,}2 e desvio padrão 27, padronizamos para a variável normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização é:
Z=\frac{S_9-\mathbb{E}[S_9]}{\mathrm{sd}(S_9)}=\frac{S_9-565{,}2}{27}.
Então
P(S_9>630)=P\!\left(Z>\frac{630-565{,}2}{27}\right).

Passo 5

Calculamos o valor de z:
\frac{630-565{,}2}{27}=\frac{64{,}8}{27}=2{,}4.
Portanto
P(S_9>630)=P(Z>2{,}4)=1-\Phi(2{,}4),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão (ou seja, \Phi(a)=P(Z\le a)).

Passo 6

Agora usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter \Phi(2{,}4). Valor conhecido:
\Phi(2{,}4)\approx 0{,}9918.
Logo
P(S_9>630)=1-0{,}9918=0{,}0082.
Interpretação prática: a probabilidade de sobrecarga é cerca de 0{,}82\%. É um evento raro, mas não impossível.

Resposta

\displaystyle P(\text{sobrecarga})\approx 0{,}0082
\displaystyle \text{(aprox. }0{,}82\%\text{)}

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